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1、化工数学（周爱月）习题解答第七章73 解：（a），双曲型，（b），椭圆型；，双曲型；，抛物型。（c），双曲型，（d），椭圆型；，双曲型；，抛物型。（e），双曲型；，抛物型。（f），椭圆型；，抛物型。（g），椭圆型；，双曲型；，抛物型。（h），双曲型；，抛物型。74 解：（a）一阶、线性、齐次；（b）二阶、非线性、齐次，有未知函数与其偏导数乘积项；（c）二阶、线性、非齐次、常系数（d）二阶、拟线性、非齐次，有未知函数的指数项；（e）二阶、拟线性、非齐次。有未知函数偏导数的幂。75 解：（a）满足拉普拉斯方程。（b） ，满足拉普拉斯方程。（c）由对称性 ，满足拉普拉斯方程。（d） ，满足拉普拉斯方
2、程。76 解：（a）（b）（c）77 解：（a）（b）（c）78 解：势函数满足（a） （为常数） 是势函数。（b）， （为常数） 是势函数。（c） 是势函数。79 均匀细杆的纵向振动，设杆的线密度为，杨氏弹性模量为E，均为常数。解：沿杆轴向作微小振动。假设t时刻处的纵位移为，如图。在t时刻，点受左边杆的应力（作用在单位横截面上的力）为；在点受右边杆的应力为。由牛顿第二定律 （1）其中是小段杆元的加速度，S为杆的横截面段。有由Hook（虎克）定律，在点有 （2）式（2）代入式（1）得由微分中值定理，并令得或 其中 。710 在杆的纵向振动时，假设（1）端点固定；（2）端点自由；（3）端点固定在
3、弹簧支承上。试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。解：（1）端点固定，；（2）端点自由，在点处的张应力与外力的关系：其中是杨氏模量，是杆的截面积。当外力时，即。当时，；当时，。（3）端点固定在弹簧支承上：设在点处的相对伸长为，则杆中的弹性张力与弹性恢复力（为弹性系数）相等，即。令 ，上式化为当时，上式化为；当时，上式化为。711 解：略。712 解：见示意图此杆内取一微元，横截面积；侧表面积。（1） 经截面P流入微元的热量为 经截面P流出微元的热量为 经微元侧表面热交换出去的热量为 P P（2） 另一方面，在时刻内，微元温度变化所需的的热量为能量守恒： 利用微分中值定理，令取极限得 或 其中
4、 714 解：（1） 泛定方程：杆内无热源的热传导方程 ；（2） 初始条件：；（3） 边界条件： 一端（）处温度为0 ， 一端（）处恒定热量流入 ；此题的定解问题：716 用分离变量法解下列振动问题初始条件如下：（1）两端固定，初始速度为零，初始位移如图；（2）两端固定， （3） 解：（1） 定解问题略。（2） 定解问题1分离变量 令，代入方程（1）得 （为常量） （4） （5）由边界条件（2）得2求固有值 当时，（6）的通解为 代入边界条件（7）得 解得 ，不合题意，舍去； 当时，（6）的通解为 代入边界条件（7）得 ，不合题意，舍去； 当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即3求
5、将代入方程（5）得 通解为4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3）（3） 定解问题1分离变量 令，代入方程（1）得 （为常量） （4） （5）由边界条件（2）得2求固有值 不合题意，舍去；当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即3求将代入方程（5）得 通解为4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3） 719 用分离变量法求解一维热传导方程定解条件分别如下：（1）（2）（3）解：（1）该定解问题为1分离变量 令，代入方程（1）得 （为常量） （4） （5）由边界条件（2）得2求固有值 不合题意，舍去； 时，（6）的通解为 代入边界条件（7）得 ，不合题意，舍去； 当时，令，方程（6）的通
6、解为由边界条件（7）得 即3求将代入方程（5）得通解为4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3） （2）该定解问题为1分离变量 令，代入方程（1）得，得 （为常量） （4） （5）由边界条件（2）得2求固有值不合题意，舍去； 当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即3求将代入方程（5）得通解为4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3） （3）该定解问题为略。721 长为l的杆，两端绝热初始温度f(x)，如果杆表面与环境间有热交换，则方程为其中h为正的常数，求解此方程。解：原定解问题为（A）（I）改写定解问题：作变量代换，令，代入（A）定解问题（A）化为定解问题（B）（B）（II）用分离变
7、量法求解定解问题（B）1分离变量 令，代入方程（1）得，得 （为常量） （4） （5）由边界条件（2）得2求固有值 不合题意，舍去； 当时，（6）的通解为 由边界条件（7）得 任意，不妨取 则固有函数 当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即 固有值 固有函数 3求将代入方程（5）得 ，通解为 将代入方程（5）得通解为 4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3）（III）求，代回原函数：722 解：定解问题为（A）（I）改写定解问题：作变量代换，令，代入（A）得定解问题（B）（B）（II）用分离变量法求解定解问题（B）固有值 固有函数 其中 （III）求代回原函数：723 解：由题意得
8、定解问题为（A）（I） 边界条件齐次化处理：令 ，代入（A）若使 ，则应使令 ，代入上面的条件得则有 ，且 定解问题（A）化为定解问题（B）：（B）（II）用分离变量法求解定解问题（B）1分离变量 令，代入方程（1）得，得 （为常量） （4） （5）由边界条件（2）得2求固有值 不合题意，舍去； 当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即 固有值 固有函数 3求将代入方程（5）得通解为 4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3）（III） 求，代回原函数：724 解：定解问题（A）：（A）（I） 边界条件齐次化处理：令 ，代入（A）若使 ，则应使令 ，代入上面的条件得定解问题（A）化为定
9、解问题（B）：（B）（II）用分离变量法求解定解问题（B）1分离变量 令，代入方程（1）得，得 （为常量） （4） （5）由边界条件（2）得2求固有值 不合题意，舍去； 当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即 固有值 固有函数 3求将代入方程（5）得通解为 4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3）（III） 求，代回原函数：726 解下列矩形域的拉普拉斯方程（1）（2）解：（1） 定解问题：1分离变量 令，代入方程（1）得，即 （为常量） （4） 有 （5）2求固有值 不合题意，舍去； 当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即 固有值 固有函数 3求将代入方程（5）得得两
10、特解：构造两个线性无关的特解：（5）的通解为 4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3）（2） 定解问题：1分离变量 令，代入方程（1）得，即 （为常量） （4） 有 （5）2求固有值 不合题意，舍去； 当时，（6）的通解是 代入边界条件（7）得 当时，令，方程（6）的通解为由边界条件（7）得 即 固有值 固有函数 3求 当时，代入方程（5）得 通解为 将代入方程（5）得得两特解：构造两个线性无关的特解：（5）的通解为 4确定系数，求由叠加原理由初始条件（3） 的任意性753 （a）解：定解问题为对作拉氏变换，令 对式（1）作拉氏变换 ， （4）对式（2）作拉氏变换： （5）联立：方程（4）的通解为 ， 又 ， 查拉氏逆变换表得
