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1、第二章 非线性方程的数值解法,2.1 二分法 2.2 一般迭代法 2.3 牛顿迭代法 2.4 弦截法,（1）确定初始含根区间,数值计算方法主要分为两大类。,第一类是区间收缩法。,（2）收缩含根区间,第二类是迭代法。,（1）选定根的初始近似值,（2）按某种原则生成收敛于根的近似点列,2.1 二分法(对分法),一、根的隔离,将含根区间一个个隔开，找到根的范围，使每个区间只有一个根。,定理：对f(x)=0,f(x)在a,b上连续,f(a)f(b) 0时 g(x) 单调增， 故有2 g(2) g(x) g(3) 3,故由定理2.2得：任取 ， 该迭代格式收敛。,三、 迭代法的误差估计,故对正整数 p，
2、有,由此，对给定的精度 可进行,（2）事后误差估计,(1) 事前误差估计,简单地代之以,或,三、 迭代法的误差估计,对给定的精度 可进行,例 2.2 试建立收敛的迭代格式求解 x e x =0 在x=0.5附近的一个根（=10-3）。,解,建立迭代格式,0 0.5 6 0.56486 0.60653 7 0.56844 0.54524 8 0.56641 0.57970 9 0.56756 0.56006 10 0.56691 5 0.57117,四、 迭代法的收敛速度与加速收敛技巧,则称该迭代格式是 p 阶收敛的。 p=1时称为线性收敛 1p2 时称为超线性收敛 p=2 时称为平方收敛。,定
3、义2.2 设迭代格式 的解序列 收敛于 的根 ，如果迭代误差 当 时满足渐近关系式,对分法：线性收敛,一般迭代法：线性收敛,2.3 牛顿迭代法,一、 牛顿迭代公式的构造,设 f (x) 在其零点 附近连续可微，已知 为的第k次近似值，则,取 的根作为 的第k+1次近似值,其迭代函数为,二、 牛顿迭代法的收敛性与收敛速度,定理 2.3 给定 f (x)=0，如果在根 附近 f (x)二阶连续，且 为 f (x)=0的单根，则牛顿迭代法在 附近至少是平方收敛的。,证,其次证明牛顿迭代法的收敛速度：,整理得,可见，当 时，牛顿迭代法为平方收敛；当 时，牛顿迭代法超平方收敛。,例 2.4 试用牛顿迭代
4、法求解 在区间 (2,3) 内满足精度要求 的根。,相应于该方程的牛顿迭代公式为,取 x0 = 2 ，计算结果见表2-4。,解,0 2 1 2.1 0.1 2.094568121 -0.005431879 2.094551482 -0.000016639 2.094551482 0,牛顿迭代法评述,优点：是收敛速度比较快,缺点：(1) 局部收敛，对初始值的要求比较高。为解决这一问题，可采用二分法来提供足够“好”的近似值作为迭代初值，或通过增加“下山”限制来放宽对初值的要求，即把牛顿迭代法修改为,其中 的选取使得 （这称为“下山”限制）。该方法称为牛顿下山法。,（2）当 为 重根时，牛顿迭代法仅
5、仅线性收敛。,（3）由于涉及 的计算，导致了对函数的要求高，并增加了每一迭代步的计算量，这在一定程度上减弱了该迭代法收敛快的优越性，而且在向非线性方程组推广时，使计算量和对函数的要求大大增加。因此，人们致力于研究建立牛顿迭代法的修改格式以回避对函数导数值的计算。本章仅对非线性方程介绍一种较为有效的修改算法弦截法。,2.4 弦截法,计算思想是：若已知 x* 的两个近似值 xk 和 xk-1，则以 f (x) 在 xk 与 xk-1 之间的平均变化率(差商) 近似代替 ，据此把牛顿迭代法修改为,该定理说明弦截法是超线性收敛的算法，也是局部收敛的方法，其迭代初始值亦可用二分法提供。,定理 2.4 设
6、 f (x) 在其零点 x* 的邻域 内二阶连续，且对 ，则对 ，相应的弦截法是 阶收敛的。,例 2.5 试用弦截法求解 在区间(2,3)内满足精度要求 的根。,相应于该方程的弦截法公式为,解,取 计算，结果见表2-5。,例 2.6 试讨论函数方程 的根的分布情况， 分别用牛顿迭代法和弦截法求其最小正根， 使误差小于 ，并比较它们的工作量,因为,故 f (x) 在(0,1)内有惟一零点，所以最小正根 1 。,若采用牛顿迭代法计算，则,取计算 ，结果见表27。,解,在(0,1)内，,若采用弦截法计算，则,取 ，解得的结果见表2-8。,例1：用简单迭代法、牛顿迭代法求 在（0，1）内的根的近似值。,解,列表计算 简单迭代法 牛顿迭代法,0 0.5 6 0.640061 0 0.5 0.707107 7 0.641680 1 0.638986 0.612547 8 0.640964 2 0.641185 0.654041 9 0.641285 3 0.641186 0.635498 10 0.641142 5 0.643719 11 0.641205,例2：用弦截法求 在（1，1.5）内的根的近似值。,解,-1 1 3 1.325214 0 1.5 4 1.324714 1.266667 5 1.324718,谢谢！,
