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1、第一章 信号和系统,二、系统的概念 系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。,二、信号的分类 1. 确定信号和随机信号 确定信号或规则信号 ：可以用确定时间函数表示的信号 随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性,连续时间信号：在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为模拟信号。 离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。,2. 连续信号和离散信号,3. 周期信号和非周期信号,周期信号：是指一个每隔一定时间T，
2、按相同规律重复变化的信号。 (在较长时间内重复变化) 连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)， 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。 非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号。,两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 结论： 连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。 两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。,4能量信号与功率信号,信号
3、可看作是随时间变化的电压或电流，信号 f (t)在欧姆的电阻上的瞬时功率为| f (t)|，在时间区间所消耗的总能量和平均功率分别定义为： 能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零。 功率信号：平均功率为有限值而信号总能量为无限大。,特点： 信号 f (t)可以是一个既非功率信号，又非能量信号，如单位斜坡信号。但一个信号不可能同时既是功率信号，又是能量信号。 周期信号都是功率信号；非周期信号可能是能量信号 t, f (t)=0, 也可能是功率信号 t, f (t)0。,6因果信号 若当 t 0 时 f (t) 0的信号,称为因果信号。 而若t 0 ，t 0， f(t) =0的信号称为反因
4、果信号。 注意非因果信号指的是在时间零点之前有非零值。,2、阶跃函数的性质： （1）可以方便地表示某些信号 eg: f(t) = 2u(t)- 3u(t-1) +u(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间,2、冲激函数与阶跃函数关系:,加权特性,抽样特性,3、性质：,单位冲激函数为偶函数,2、(t) 的尺度变换,这里 a 和 t0为常数，且a0。,五、信号的分解 信号从不同角度分解： 直流分量与交流分量 偶分量与奇分量 脉冲分量 实部分量与虚部分量 正交函数分量 利用分形理论描述信号,1、直流分量与交流分量,其中fD为直流分量即信号的平均值；,直流分量fD与交流分量fA(t):,2、偶分
5、量与奇分量,（1）一种分解为矩形窄脉冲分量：,3、脉冲分量,（2）另一分解为阶跃信号分量之叠加。,4.实部分量与虚部分量,对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和。,其实部为：,其复数信号的模为：,其虚部为：,系统的分类及性质 1. 连续系统与离散系统 输入和输出均为连续时间信号的系统称为连续时间系统。 输入和输出均为离散时间信号的系统称为离散时间系统。 连续时间系统的数学模型是用微分方程来描述，而离散时间系统的数学模型是用差分方程来描述。,2. 动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。 含有记忆
6、元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。 3. 线性系统与非线性系统 能同时满足齐次性与叠加性的系统称为线性系统。满足叠加性是线性系统的必要条件。 不能同时满足齐次性与叠加性的系统称为非线性系统。,4. 时不变系统与时变系统 满足时不变性质的系统称为时不变系统。 时不变性质:若系统满足输入延迟多少时间，其激励引起的响应也延迟多少时间 5、 因果系统与非因果系统 激励引起的响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统 即对因果系统，也就是说，如果响应r(t)并不依赖于将来的激励如e(t+1)，那么系统就是因果的。,6. 稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励所产生
7、的响应也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。,第二章 连续系统的时域分析,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应),二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0 状态和 0 状态 0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的； 0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 从 0 状态到 0 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端
8、自由项是否包含(t)及其各阶导数。,如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。 0 状态的确定 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。,各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。,2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0）和（0）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含（t）及其各阶导 数，那么（0）时刻的值不一定等
9、于（0） 时刻的值。 原理： 利用t0时刻方程两边的（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0）,三、零输入响应和零状态响应 1、定义： （1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。 （2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。 LTI的全响应：y(t) = yx(t) + yf(t) 2、零输入响应 （1）即求解对应齐次微分方程的解 3、零状态响应 （1）即求解对应非齐次微分方程的解,自由响应强迫响应,零输入响应零状态响应,暂态响应+稳态响应,四系统响应划分,相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫
10、响应构成 。,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,一冲激响应 1定义 系统在单位冲激信号(t) 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,2.2 冲激响应和阶跃响应,系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,二阶跃响应 1定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。,2阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性,任意信
11、号的零状态响应即为：,三、卷积积分的性质,1、卷积的代数性质 交换律：1(t)2(t)=2(t)1(t) 分配律：1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t) 结合律：1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t),时移性质 若1(t)2(t)=(t)， 则有1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2),2、主要性质：,微分性质：,积分性质：,微积分性质：,f(t)与阶跃函数的卷积：,f(t)与冲激函数的卷积： (t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2),f
12、(t)与冲激偶函数的卷积： (t)(t)= f(t)(t)= (t) (t)(t)=(t),本章总结： 1、LTI连续系统的响应： 全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应) 2、关于0-和0+初始值 当系统已经用微分方程表示时，如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。 冲激函数匹配法:,3、零输入响应和零状态响应 y(t) = yx(t) + yf(t) 自由响应强迫响应；暂态响应+稳态响应；零输入响应零状态响应 4、冲激响应和阶跃响应 5、卷积积分 卷积过程可分解为四步： （1）换元： t换为得f1()， f2() （2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f
13、2(t-) （3）乘积： f1() f2(t-) （4）积分： 从到对乘积项积分。,.,40,主要内容,第一部分：周期信号的傅里叶分析 一、信号的正交分解 二、周期信号的傅里叶级数 三、周期信号的频谱及特点 四、周期信号的功率谱 五、有限傅里叶级数,第二部分：非周期信号的傅里叶变换 一、非周期信号的傅里叶变换 二、常用信号的傅里叶变换 三、傅里叶变换的性质 四、周期信号的傅里叶变换 五、抽样信号的傅里叶变换 六、抽样定理,.,41,傅里叶级数的三角形式,周期信号 的周期为 ，角频率为 ，频率 当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可分解为如下三角级数：,系数 ， 称为傅里叶系数，,二、周
14、期信号的傅里叶级数,an是n的偶函数,bn是n的奇函数,.,42,将上式同频率项合并，可得：,其中：,或,其中：,上面式子表明，周期信号可以表示为直流和许多正(余)弦分量之和。通常把频率为基频 的分量称为基波；频率为基频的n倍的分量称为n次谐波。,二、周期信号的傅里叶级数,.,43,函数的对称性与傅里叶系数的关系,二、周期信号的傅里叶级数,.,44,傅里叶级数的指数形式,二、周期信号的傅里叶级数,周期信号的傅里叶级数也可表示为指数形式：,令 则,可得：,其中 称为傅里叶系数,.,45,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的复指 数信号之和。Fn 是频率为n的分量的系数，F0 = a0
15、为直流分量。 狄利克雷(Dirichlet)条件 在一个周期内，间断点的数目应该有限； 在一个周期内，极值数目应该有限； 在一个周期内，信号绝对可积，即,二、周期信号的傅里叶级数,46,三、周期信号的频谱及特点,周期信号频谱的特点,如果周期T无限增大，结果会怎样,离散频谱特性： 周期信号的谱线位置是基频的整数倍。 增大，间隔 减小，频谱变密，幅度减小。 减小，间隔 增大，频谱变疏，幅度增大。,47,47,帕塞瓦尔(Parseval)功率守恒定理,周期信号一般是功率信号，其平均功率为：,四、周期信号的功率谱,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。,周期信号的功率频谱： 随 的分布情况，称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。,48,48,吉布斯(Gibbs)现象： 对于具有不连续点(跳变点)的波形，用有限次谐波分量来近似原信号，虽然所取的项数越多，近似波形的方均误差可以减少，但在跳变点处的峰起值不能减小，此峰随项数增多向跳变点靠近，而峰起值趋近为跳变值的9% 。 原因： 时间信号存在跳变破坏了信号的
