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1、第一节 方阵的特征值与特征向量,二次型,特征值问题与二次型,第六章 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型；而,为二次型的标准形.,2用矩阵表示,二、二次型的表示方法,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设有可逆 线性变换,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,
2、例4,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例5,六、小结,1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法,思考题1,思考题1解答,特征值问题与二次型,第五节 正定二次型与正定矩阵,一、惯性定理,二、正(负)定二次型的概念,为正定二次型,为负定二次型,例如,为不定型二次型,为负半定二次型,三、正(负)定二次型的判别,推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：
3、 的特征值全为正,定理3,充分性,必要性,定义2,这个定理称为霍尔维茨定理,定理4 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式为正，即,正定矩阵具有以下一些简单性质：,推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,解,二次型的矩阵为,用特征值判别法.,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,例5 若二次型,正定，求参数 t 应满足的条件.,2. 正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺序主子式判别法；,(3)特征值判别法.,四、小结,1. 正定二次型的概念，正定二次型与正定 矩阵的区别与联系,3. 根据正定二次型的判别方法，可以得到 负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大 家自己推导,思考题,思考题解答,
