《高中数学竞赛数列》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛数列（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学竞赛数列竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。 所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列an的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，n)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。 一、 等差
2、数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。 等差数列an的通项公式为：前n项和公式为：从(1)式可以看出，是的一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是的二次函数()或一次函数()，且常数项为0。在等差数列 中，等差中项： 且任意两项的关系为：它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前项和公式还可推出： 若 二、 等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母表
3、示。等比数列an的通项公式是： 前项和公式是： 在等比数列中，等比中项： 且任意两项的关系为如果等比数列的公比满足01，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各项的和(又叫所有项的和)的公式为： 从等比数列的定义、通项公式、前项和公式可以推出： 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等
4、比数列)。 数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。 三、 范例 例1 设ap，aq，am，an是等比数列an中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证： 证明：设等比数列的首项为，公比为q，则 说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：a1+kan-k=a1an对于等差数列，同样有：在等差数列 中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。 即：a1+k+an-k=a1+an例2在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= A.20
5、B.22 C.24 D28 解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得5a8=120，a8=24而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。故选C 例3已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0，则有( ) A.a1+a1010 B. a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=51 2000年北京春季高考理工类第(13)题 解：显然，a1+a2+a3+a101 例4设Sn为等差数列的前项之各，S9=18，Sn=336，则为( ) A.16 B.21 C.9 D8 例5设等差数列满足，且0，为其前项之和，则 中最大的是( )。
6、(1995年全国高中联赛第1题) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 所以:S19=S20最大，选(C) 注：也可用二次函数求最值 例6设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( ) (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 1997年全国高中数学联赛第3题 解：设等差数列首项为，公差为，则依题意有： 因为是不小于3的自然数，97为素数，故数的值必为2972的约数(因数)，它只能是97，297，972，2972四者之一。 若，则由(*)式知2972故只可能有=97，(*)式化为：，这时(*)有两组解： 或 若，则(*)式化
7、为：，这时(*)也有两组解。 或 故符今题设条件的等差数列共4个，分别为： 49，50，51，145，(共97项) 1，3，5，193，(共97项) 97，97，97，97，(共97项) 1，1，1，1(共972=9409项) 故选(C) 例7将正奇数集合1，3，5，由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组： 1，3，5，7， 9，11，13，15，17， (第一组)(第二组)(第三组) 则1991位于第组中。 1991年全国高中数学联赛第3题 解：依题意，前n组中共有奇数 1+3+5+(2n-1)=n2个 而1991=2996-1，它是第996个正奇数。 因为:312=961996102
8、4=322 所以:1991应在第31+1=32组中。 故填32例8一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为。 1989年全国高中联赛试题第4题 解：设该数为x，则其整数部分为x，小数部分为x-x，由已知得：x(x-x=x2其中x0，0x-x1，解得：例9等比数列的首项，公比，用n表示它的前项之积，则n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)13 1996年全国高中数学联赛试题 解：等比数列的通项公式为 前n项和 选(C)例10设，且两数列和均为等差数列，则 1988年全国高中联赛试题 解：依题意，有 所以: 例11设是实数，成等比数列，且成等差数列
9、，则的值是 1992年全国高中数学联赛试题解：因为成等比数列，所以有 例12已知集合M=及N=并且M=N，那么 ( )解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg()有意义知，从而，且，故只有lg()=0， xy=1，M=x,1,0；若y=1，则x=1，M=N=0，1，1与集合中元素互异性相连，故y1，从而x=1，x=1；由x=1, y=1(含)，由x=-1 y=-1，M=N=0,1,-1 此时, 从而 注：数列x，x2，x3，x2001；以及在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。 例13已知数列满足3an+1+an=4(n1)且a1=9
10、，其前n项之和为Sn，则满足不等式Sn-n-6的最小整数n是( ) 1994年全国高中数学联赛试题 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解：由3an+1+an=4(n1) 3an+1-3=1-an 故数列an-1是以8为首项，以为公比的等比数列，所以 当n=7时满足要求，故选(C) 注：数列an既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，1和等比数列：的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。 例14设数列an的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,)，数列bn满足b1=3,bk+1=
11、ak+bk(k=1,2,)求数列 的前n项和。 1996年全国高中数学联赛第二试第一题 解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1， 所以:数列an是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1(4) 以上诸式相加，得因为表中均为正数，故q0，从而，因此，对于任意1kn，有 评注：本题中求和实为等差数列an=n与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前n项的和，将(5)式两边同乘以公比，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本P137复习参考题三B组题第6题为：求和：S=1+2x+3x2+n
12、xn-1；2003年北京高考理工类第(16)题：已知数列an是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列an的通项公式；(II)令bn=anxn，求数列bn的前n项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。 高阶等差数列一、基本知识1.定义：对于一个给定的数列an，把它的连结两项an+1与an的差an+1-an记为bn，得到一个新数列 bn，把数列bn你为原数列an的一阶差数列，如果cn=bn+1-bn，则数列cn是an的二阶差数列依此类推，可得出数列an的p阶差数列，其中pN2.如果某数列的p阶差数列是一非零常数列，则称此数列为p阶等差数列3.高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数
13、列的统称4.高阶等差数列的性质：(1)如果数列an是p阶等差数列，则它的一阶差数列是p-1阶等差数列(2)数列an是p阶等差数列的充要条件是：数列an的通项是关于n的p次多项式(3) 如果数列an是p阶等差数列，则其前n项和Sn是关于n的p+1次多项式5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前n项和，更深层次的问题是差分方程的求解，解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项an与前n项和Sn是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是an能写成an=f(n+1)-f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的
