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1、2014高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用上海交通大学附中2014版创新设计高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若函数图象上任意点处切线的斜率为，则的最小值是( )A B C D【答案】A2曲线在点（1，1）处的切线方程为( )A B C D 【答案】B3曲线在点P（1，0）处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )AB CD【答案】C4曲线y=x3+x
2、-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是( )A(0,1)B(1,0)C(-1,-4)或（1,0）D(-1,-4)【答案】B5设，则的值为( )ABCD【答案】C6设函数f（x）=x2+3x4，则y=f（x+1）的单调递减区间为( )A（4，1）B（5，0）C（）D（）【答案】B7在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x( )A大于零B小于零C等于零D不等于零【答案】D8函数的定义域为，对任意，则的解集为( )A（，1）B（，+）C（，）D（，+）【答案】B9已知等差数列的前n项和为，又知，且，则为 ( )A33B46C48D50【答案】C10曲线在处的切线平行于直线，则
3、点的坐标为( )A( 1 , 0 )B( 2 , 8 )C( 1 , 0 )或(1, 4)D( 2 , 8 )和或(1, 4)【答案】C11设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )ABCD【答案】A12曲线在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A-9B-3C9D15【答案】C第卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则=_【答案】14函数的单调增区间为 .【答案】15曲线y=3x2与x轴
4、及直线x1所围成的图形的面积为 【答案】116= 。【答案】三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【答案】解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 BD=40,AC=50,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50x)+
5、5y=3+,令y=0,解得=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.解法二：设BCD=,则BC=,CD=, 设总的水管费用为f(),依题意，有()=3(5040cot)+5=150+40()=40令()=0,得cos=根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.18 已知函数f(x)ax2blnx在x1处有极值(I）求a，b的值；
6、(II）判断函数yf(x)的单调性并求出单调区间【答案】(1)因为函数f(x)ax2blnx，所以f(x)2ax又函数f(x)在x1处有极值，所以即解得(2)由(1)可知f(x)x2lnx，其定义域是(0，)，且f(x)x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数yf(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，)19设，向量，函数的图象经过坐标原点，是函数的导函数已知，(）求的解析式；(）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围；(）若，设数列满足求证：【答案】（I）， 令，则，解得的图象过原点，(II）原方程可以整理为令，则由有或，且当或时，当时 在时，
7、在上是减函数，在上是增函数， 在上又， 要使原方程在上有两个不相等的实数根，则须使即的取值范围为(III）时， )，整理得 ()变形得 ，令，则，() 两边同取对数有 ，即令，则，且，-12(-1)( )，-12(-1) 22(-1)(-1)=，1+，=， ()当时，=3-1=1，即不等式也成立，20已知函数，(）若求曲线在处的切线的斜率；（）求的单调区间；(）设若存在对于任意使 求 的范围。【答案】(）若(）当 当令综上：(）由（）知，当时，一定符合题意; 当 由题意知，只需满足综上：21已知函数。(）设，讨论的单调性； (）若对任意恒有，求的取值范围【答案】 ()f(x)的定义域为(,1)
8、(1,+).对f(x)求导数得 f (x)= eax. ()当a=2时, f (x)= e2x, f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).为增函数.()当0a 0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数. ()当a2时, 01, 令f (x)= 0 ,解得x1= , x2= .当x变化时, f (x)和f(x)的变化情况如下表: f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数.()()当0f(0)=1.()当a2时, 取x0= (0,1),则由()知 f(x0)1且eax1,得 f(x)= eax 1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)122函数(I）当时，求函数的极值；(II）设，若，求证：对任意，且，都有.【答案】（1）当时，函数定义域为（）且令，解得或 当变化时，的变化情况如下表：所以当时，当时，； (2）因为，所以，因为，所以（当且仅当时等号成立），所以在区间上是增函数， 从而对任意，当时，即,所以. 7 / 7
