《《罗尔定理在函数零点问题中的应用》-公开DOC·毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《罗尔定理在函数零点问题中的应用》-公开DOC·毕业论文（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 本 科 毕 业 论 文题 目 罗尔定理在函数零点问题中的应用 系 别 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 评阅教师 班 级 级2班 姓 名 学 号 年 5 月 10 日w目 录摘 要Abstract引言11概念及定理12罗尔定理在函数零点问题中的应用32.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用32.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用42.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用52.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题5 2.4.1 Laguerre多项式5 2.4.2 Hermite多项式6 2.4.3勒让德多项式82.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何
2、学上的应用9结束语10参考文献11致 谢12w摘要：在介绍了罗尔定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广，得到了在“任意区间”上罗尔定理的结论成立，同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正（或负）无穷的导数外，其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立将罗尔定理在复变函数（解析函数）中进行了推广，得到了向量值函数中的一个重要结论结合典型例题，分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题中的实际应用，同时证明了在几何学上的具体应用，用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式，说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价
3、值关键词：函数；函数零点；罗尔定理；应用Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy, combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Then the conclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At the same time, on th
4、e condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive (or negative) derivative of the infinite, the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function (analytic functions). Vector-valued functions has b
5、een an important conclusion. Combined with a typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theorem and the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry is proved. Using the generalized Rolle theorem prov
6、e three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value. Key words: function; function against; rolle theorem; application引言对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题，解决这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优
7、缺点罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一个著名定理，因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活跃的方向根据罗尔定理，若函数在闭区间上连续、开区间内可导，则在端点和的取值就决定了内某点的微分性质，尽管的取值一般情况下不易求出，但它并不影响罗尔定理的应用由于它的这个优越性质，将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性因此，长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件，以便将它用于更加广泛的领域至今，人们在文献1-5中将其在一元实函数中进行了推广，将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上，并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正（或负）无
8、穷的导数外，均有有限导数”，削弱了严格的限制，同时讨论了一些函数的零点问题在罗尔定理的应用中，构造辅助函数十分重要2003年，文献6利用找原函数的思想，通过不定积分的过程来寻求辅助函数，得到了应用罗尔定理构造辅助函数的一种方法但罗尔定理只能用于一元实函数，能否将它推广到多元函数中呢？1995年Furi与Martelli经过研究将其推广到了向量值函数中，并将其应用到了几何学上这样罗尔定理不仅可以用于实函数，也可以用于复变函数的零点问题中本文根据大量的文献整理与综合，首先给出了罗尔定理及其推广形式，进而应用这些结论分析讨论了其在实函数和复变函数零点问题中的具体应用1 概念及定理 1.1 函数零点的
9、定义如果存在实数，使得，则称为函数的零点 函数的零点又称为方程的实根讨论函数零点的存在性，确定函数零点的个数，证明函数零点的唯一性的问题，统称为函数的零点问题1.2 罗尔定理7若函数满足如下条件：(1) 在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)， 则在内至少存在一点，使得罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线1.3 推广的罗尔定理推广1：若函数在有限区间或无限区间内满足：(1)可导；(2) 则在内至少存在一点，使得推广2：若函数满足：(1)在上连续；(2)在内除有限个点处存在正无穷或负无穷的导数外，均有有限导数；(3)则在中
10、至少存在一点，使得推广3（广义罗尔定理）：设函数在有限或无穷的区间中的任意一点处有有限的导数，且，则在中至少存在一点，使得推广4(向量值函数中的推广)：设， （1）上连续； （2）内可微； （3）存在非零向量，使得对任意的成立； （4）存在非零向量，使得对任意的，恒为常数； （5）存在非零向量，使得对任意的，不变号若除满足（1）（2）两个条件外，还满足（3）（4）（5）中的任意一个，则至少存在一点，使得（注意到为矩阵） ，即与向量组正交 罗尔定理仅仅适用于连续的一元实函数，推广1、2和3是对它在实函数中的进一步推广，这样可以让罗尔定理摆脱太严格的限制，同时推广的罗尔定理就可以在任意区间、任意端
11、值上使用了，从而使其在实函数中的应用更加广阔但是罗尔定理的最大缺陷就是只能用于一元连续实函数，因此推广4将其从本质上推广到了向量值函数中，从而能将罗尔定理从代数学中推广到几何学中，与日常的生产生活联系更加紧密2 罗尔定理在函数零点问题中的应用零点问题就是指零点的存在性、唯一性以及个数的问题，这一问题的解决可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理等微积分方法，不同的方法在不同的环境中有各自的优越性罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛，无论是零点的存在性、唯一性还是个数问题，应用罗尔定理都能得到很好的解决2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用在数学学科中，函数零点的存在性问
12、题始终都是人们研究的热点课题虽然这一问题的解决可以用零点定理，但在难以认定正负值点的时候，就需要换一种方法，其中罗尔定理就是一种很好的方法用罗尔定理讨论函数零点问题时可以采用以下方法对函数的原函数使用罗尔定理：若在闭区间上，并且，则在上至少存在一点，使得 例1 设函数是定义在闭区间上的连续函数，且，证明存在，使得 分析：如果用零点定理，则令，但的值是正还是负，难以确定，因此考虑改用罗尔定理证明：令，则那么 （因为） ，所以又因为，所以由罗尔定理可知，存在，使得 针对难以确定正负值点的函数零点存在性问题，采用罗尔定理能方便而又快速的给我们提供解决方法，因为它并不要求求出区间内的端点值或者说判断端
13、点值的正负，而只需要知道它是否连续、可微就可以了针对这一类问题，通常采用的方法就是对函数的原函数使用罗尔定理但由于罗尔定理的限制太严格了，它要求三个限制条件必须同时满足，只要有一个条件不满足，罗尔定理就不一定成立，这就大大的限制了罗尔定理的使用范围，因此在难以确定函数是否连续、可微时直接使用罗尔定理反而会增加解题的难度，加大计算量2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用 在数学学习和生产生活中，零点的个数问题始终是一个重要的问题讨论一个函数到底有几个零点，通常可以采用先确定至多有几个零点，再确定至少有几个零点，从而得出零点的个数，在这过程中罗尔定理就显示出了它的优越性例2 讨论方程的零点个数 解：设函数，显然在定义域内是连续函数分别令得所以在区间各至少有一个零点，即方程至少有三个实根
