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1、数理统计分析知识及回归分析方法把研究对象的全体称为总体,构成总体的每个单位称为个体,通常用N表示总体所包含的个体数。总体的一部分称为样本(或成子样),通常用n表示样本所含的个体数,称为样本容量。从总体中抽区样本称为抽样。若总体中每个个体被抽取的可能性相同,这样的抽样称为随机抽样,所获得的样本称为随机样本。在许多情况下不可能直接试验或研究总体,例如灯泡的寿命、混凝土强度等,总是采用抽样的方法,通过试验或研究样品的特性,去估计该批产品的特性或质量状况。数理统计就是一种以概率论为理论基础、通过研究随机样本(样品)对总体的特性或质量状况作出估计和评价的方法。对于工程试验中常见的正态分布,主要计算样本的
2、三个统计量,即平均值、标准差(或极差)和变异系数。一、样本平均值:以算术平均值 表示,可按下式计算: = 式中:各个试验数据 各个试验数据之和 试验数据个数二、样本标准差:以标准差表示,可按下式计算:上式又称贝塞尔公式。标准差表示一组试验数据对于其平均值的离散程度,也就是数据的波动情况,具有与平均值相同的量纲。在相同平均值条件下,标准差大表示数据离散程度大,即波动大;标准差小表示数据离散程度小,波动小。三、样本极差:极差也可以表示数据的离散程度。极差是数据中最大值与最小值之差:极差也可以表示数据的离散程度。极差是数据中最大值与最小值之差:当一批数据不多时(n10),可用样本极差估计总体标准差:
3、式中:标准差的估计值; R:极差; :与n有关的系数,一般,可近似地取为: ,2n10四、样本变异系数:变异系数表示数据的相对波动大小,按下式表示:可用于不同平均制条件下数据饿波动情况,更能反映数据的性质。 回归分析回归分析是一重处理变量与变量之间关系的数学方法。变量与变量之间存在一一对应关系的,称为函数关系。变量与变量之间不存在一一对应关系,但具有统计规律的,称为相关关系,如水灰比与混凝土抗压强度之间、混凝土快速测强与标准试件强度之间的关系等。回归分析即是研究变量之间相关关系的一种方法。一、一元线性回归: 一元线性回归是要建立因变量y 与自变量x之间的直线关系式,即一元线性回归方程。直线关系
4、的普遍式为:y=b+ax 式中的a是直线的斜率、b是截距,统称为回归系数,一般是未知的,需要根据y与x的观测值来确定。建立一元线性回归方程,即是求取回归系数a和b,其方法有作图法、最小二乘法等。本教材只介绍作图法求回归系数如下。例:测得八对水泥快速抗压强度与28天标准抗压强度数据,可以横坐标表示快速强度,以纵坐标表示标准强度,将八 对测量值绘图,得到八个点,划一条直线,使各点在直线两侧尽可能均匀分布。 延长直线使之与纵坐标相交,交点至坐标原点的距离就是截距b,斜率就是系数a,这样就得到回归方程y=b+ax。 二、相关系数及其显著性检验:1相关系数的定义:在数理统计中,一般用相关系数来定量地描述两个变量之间线性相关的密切程度。相关系数以r来表示: = 式中:lxyX,Y的离均差积和 lxyX的离均差平方和 2相关系数的意义:越接近于1,x与y的相关性越好;反之,越接近于0,x与y的相关性越差。