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1、 1 4-1 如果单位反馈控制系统的开环传递函数 1 )( s K sG 试用解析法绘出 K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j0)，(0+j1)，(3+j2)。 解：根轨迹如习题 4-1 答案图所示。 （-2，+j0）在根轨迹上；(0,+j1), (-3, +j2) 不在根轨 迹上。 习题 4-1 答案图 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数。 ) 12( ) 13( )( ss sK sG 试用解析法给出开环增益 K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。 解： 解析法：K=0 时：s=-1/2，0；K=1：s=-12 /2；K=-：s=-，-1/3。根
2、轨迹如习 题 4-2 答案图所示。 习题 4-2 答案图 4-3 已知系统的开环传递函数 ) 1( ) 1( )()( ss sK sHsG，试按根轨迹规则画出该系统的根轨 迹图，并确定使系统处于稳定时的 K 值范围。 解：分离点：0.414；会合点：-2.414 ；与虚轴交点：j。稳定的 K 值范围：K1。 2 根轨迹如习题 4-3 答案图所示。 习题 4-3 答案图 4-4 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 2 * )4)(1)(1( )( sss K sG （1）试粗略画出 K*由 0 到的根轨迹图； （2）分析该系统的稳定性。 解：稳定性分析：系统不稳定。根轨迹如习题 4-4 答案图
3、所示。 -10-505 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题 4-4 答案图 4-5 设控制系统的开环传递函数为 )164)(1( ) 1( )()( 2 * ssss sK sHsG， 试绘制系统根轨 3 迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。 解：渐近线：=60，180；=-2/3；复数极点出射角55；分离会合点 0.46 和-2.22； 与虚轴交点 1.57 和 2.56；使系统稳定的开环增益为 1.46 K2.23 (即 23.4 K*35.7)。 习题 4-5 答案图 4-6 已知系统的特征方程为 0
4、)4()3)(1)(3)(1( 2 sKssss 试概略绘出 K 由 0时的根轨迹（计算出必要的特征参数） 。 解：渐近线：=90，=0；分离点2，相应 K=1.88；会合点j3.46，相应 K=34.14；复数 零点入射角90；无论 K 为何值系统均不稳定。 习题 4-6 答案图 4-7 反馈系统的特征方程为 0)160(123 234 KsKsss 作出 0 K 的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的 K 值范围。 4 解：渐近线：=60，180；=-2/3；复数极点出射角 63；分离点：1.6 ，会合点： -3.43。由图可知系统在任何 K 值下都是不稳定的。 习题 4-7 答案图 4-8
5、已知闭环系统的特征方程为0) 1()( 2 sKass。 (1)画出 a =10 时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时 K 的取值范 围； (2)确定根轨迹具有一个非零分离点的 a 值，并画出相应的根轨迹； (3)在(2)中确定的 a 值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的 K 值； (4)画出 a =5 时的根轨迹。当 K =12 时，已知一个闭环极点为s1= 2，问该系统能否等效 为一个二阶系统？ 解： （1）渐近线：=90，=-4.5；会合点：-2.5，分离点：-4。阻尼振荡时 K 的取 值范围为（0，31.3） （32，） ，呈单调变化时 K 的取值范围为（31.
6、3，32） 。 习题 4-8（1）答案图 （2）具有一个非零分离点的 a=9。 5 习题 4-8（2）答案图 （3）a =9 时，闭环二重极点 s1,2=-3 对应的 K=27。 （4）渐近线：=90，=-2；不能等效。 画出 a =5 时的根轨迹。 -5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.50 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题 4-8（4）答案图 4-9 设单位反馈系统的开环传递函数为 )( )( ass K sG 试绘出 K 和 a 从零变到无穷大时的根轨迹簇；当 K = 4
7、 时，绘出以 a 为参变量的根轨迹。 解：令 a =0 绘制 K 为参变量的根轨迹如习题 4-9 答案图之一所示。 6 习题 4-9 答案图之一 当 K 取不同值时，绘出 a 变化的根轨迹簇如习题 4-9 答案图之二所示。当 K = 4 时，画 a 从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。 习题 4-9 答案图之二 4-10 设单位反馈系统的开环传递函数为 ) 1)(1( )( sTss K sG 其中开环增益 K 可自行选定，试分析时间常数 Ta对系统性能的影响。 解：重做该题。等效开环传递函数 2 2 (1) ( ) T ss G s ssK 当 K时， G(s) 具有实数极点。取任何正实数
8、Ta系统都是稳定的。选择 K=0.1 画根 轨迹如习题-答案图之一所示。 7 -1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题答案图之一 当 K时， G(s) 具有复数极点。取 K=0.5，1，2，画根轨迹如习题-答案图之二 所示。当 0K 1 时，取任何正实数 Ta都是稳定的；当 Ta 1 时，K2，否则系统不稳定。 -1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
9、 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 8 -1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Root Locus Real Axis Imaginary Axis -1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Root Locus Real Axis Imaginary Axis 习题答案图之二 4-11 设控制系统中 ) 1( )(
10、2 ss K sG，1)(sH。该系统在增益 K 为任何正值时，均不稳 定。试画出该系统的根轨迹图。利用作出的根轨迹图，说明在负实轴上加一个零点，将 G(s) 改变为 G1(s)，即 ) 10( ) 1( )( )( 2 1 a ss asK sG 可以使系统稳定下来。 解： （1）渐近线：=60，180；=-1/3。画出根轨迹如习题-答案图之一所示。 （2）取 a =0.5，渐近线：=90，=(a -1)/2。画出根轨迹如习题-答案图之二所示。 从图中可以看出 增加开环零点后使得根轨迹向 s 左半平面弯曲，从而使得闭环系统的稳定 9 性得到提高。 习题-答案图之一习题-答案图之二 4-12
11、设控制系统开环传递函数为 )4)(2( ) 1( )( 2 sss sK sG，试分别画出正反馈系统和负反 馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同。 解：负反馈系统：渐近线：=60，180；=-5/3；与虚轴交点 s =1.414，K=12。根轨 迹如习题-答案图之一所示。 正反馈系统：渐近线：=0，120；=-5/3；根轨迹如习题-答案图之二所示。 稳定情况的不同：正反馈系统恒不稳定，负反馈系统条件稳定，稳定范围 0K12。 习题-答案图之一习题-答案图之二 4-13 已知系统如图 4.23 所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比 0.707 时，系统的单位阶跃响应。
12、 10 图 4.23 习题 4-13 图 解： =0.707 时系统的闭环极点为 s1,2 =-2j2，s3 =-2。此时，K=2。根轨迹如习题-答案 图所示。当闭环共轭复数极点呈现阻尼比为 0.707 时系统的单位阶跃响应为 -2-2 ( )12e2ecos(245 ) tt c tt 习题-答案图 画一张响应曲线图：求 c(t)。 已知 16 ( ) (2)(22)(22) C s s ssjsj 11 4-14 系统的开环传递函数为 )5 . 0)(2( )52( )()( 2 ss ssK SHsG。 (1)绘制系统的根轨迹图； (2)确定系统稳定时 K 的取值范围； (3)若要求系统
13、单位阶跃响应的超调量为 16.3，确定相应的 K 值。 解：(1)分离点：-0.41，K=0.24；复数零点入射角200；与虚轴交点j1.25。根轨迹如习 题-答案图所示。 (2)稳定时的 k 的范围是： 0.2K0.75。 (3)单位阶跃响应的超调量为 16.3% 时 K 的值为 0.311。 习题-答案图 4-15 已知系统的信号流图如图 4.24 所示。且可变系数 (1)证明该系统实轴以外部分的参数根轨迹为半圆周。 (2)完整准确地画出系统的参数根轨迹。 (3)以根轨迹为依据，求出满足系统阻尼比=0.5 时的值。 图 4.24 习题 4-15 图 解： （1）证明略。 （2）会合点 s=
14、-1；复数极点出射角180；根轨迹如习题-答案图所示。 （3）=0.5 时的=0.999。 12 习题-答案图 4-16 设控制系统如图 4.25 所示，试概略绘出 Kt =0，0Kt 1 时的根轨迹和单位阶 跃响应曲线。若取 Kt =0.5，试求出 K=时的闭环零极点，并估算出系统的动态性能。 图 4.25 习题 4-16 图 解： （1）Kt =0 时的根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题-答案图之一所示。 习题-答案图之一响应曲线不对 已知 2 ( ) () K C s s ssK ，请选 K=0.5 做响应曲线。此时=0.707。 13 （2）0Kt 1，取 Kt =2 时，根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题-答案图之三所示。 习题-答案图之三响应曲线重画 已知 2 ( ) (2) K C s s ssK+ Ks ，请选 K=1 做响应曲线。 15 （4）闭环极点：-2；闭环零点：无；可等效为一阶系统，时间常数 T=0.5。 估算系统性能：%0% ts3T=1.5s 4-17 系统结构如图 4.26 所示。 (1)试求当 K 从 0
