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1、宁夏师范学院2012届毕业生毕业论文题 目：反函数在生活中的应用 院 系： 数学与计算机科学学院 指导教师： 陈志恩 班 级： 08级数应(2)班 姓 名： 杨吉朝 完成时间： 2012-4-5 反函数在生活中的应用摘要： 数学是一种应用非常广泛的学科。数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。”这可以说是对数学与生活的关系的完美阐述。新课程标准出现的一类新颖试题,近年来与实际生活相结合的题目屡见不鲜,不仅要求数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，为他们提供观察和操作的机会，使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习
2、数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味，而且还要激发学生运用数学解决实际问题的兴趣，培养探索精神、应用意识和实践能力，做到学以致用，进一步体会数学的作用和价值，感受到数学的魅力。本文应用分析与综合、比较与分类的数学思维研究方法对数学中的反函数进行探讨来以求解决日常中遇到的实际问题。关键词：反函数 定义域 值域 图像目录：1.反函数的概念：51.1原函数与反函数的关系：51.2反函数的定义：52.反函数的性质：62.1反函数相关性质的总结和分析。62.1.1.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称62.1.2.函数存在反函数的充要条件是
3、，函数的定义域与值域是一一映射；严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。72.1.3.一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；72.1.4.大部分偶函数不存在反函数82.1.5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）。82.1.6.严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。82.1.7.反函数是相互的且具有唯一性82.1.8.定义域、值域相反对应法则互逆。92.1.9. 原函数一旦确定，反函数即确定。93.反函数在日常生活中的应用：93.1求反函数的步骤：93.1.1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；93.1.2、反解x，也就是用y来表
4、示x；103.1.3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x；103.1.4、写出原函数及其值域。103.1.5.反函数求解三步骤：103.2数学中反函数的相关例题：103.2.1函数是高中数学中的重要内容，反函数又是函数的重要组成部分，也是同学们学习函数的难点之一。反函数在历年高考中也占有一定的比例。在生活中我们也遇到许多数学问题通过转换成反函数解决更容易。103.2.2互为反函数图象间关系。13引言：数学家波利亚曾说：“数学教师的责任是尽其可能来发展学生解决问题的能力。”可见体会数学的意义和价值，联系生活实际理解并掌握知识，不是我们的最终目标。学以致用，应用所学的知识去发现、分析、直
5、至解决生活中的问题，才是最终的目标。数学源于生活，更应该应用于生活以及在解决数学问题中转换一个角度去考虑问题会更简单易懂。无论我们从事何种学习，其唯一目的就是利用所学知识解决生活中我们遇到的问题，数学中有些函数看似非常复杂如果我们转换成反函数，用反函数的思想去求其定义域及其相关问题会更简单。在初高中的数学教材中都多多少少涉及到了反函数，虽然反函数在中高考中所占比例都不是很大，但这并不能忽视反函数在生活中以及数学中的重要地位。要想充分利用某一知识点解决实际问题，必须对知识做到理解、掌握，从而才可以做到将理论知识灵活应用。本文将通过对反函数的概念、性质等多方面的分析，从而引出反函数日常生活中及在解
6、决数学问题方面的应用。增强同学们换位思考的意识，从而达到解题目的。1.反函数的概念：1.1原函数与反函数的关系： 关于反函数的概念，课本上和很多资料上都是采用由具体到抽象、由特殊到一般的思想方法，即举二到三个具体的函数，如物理中的位移，速度（暂定为常量），时间的关系：，表示位移是时间 的函数，其中是自变量，是函数值；反过来，也可以用位移和速度来表示时间，即 sv，其中是自变量，是函数值. 再进一步分析这两个函数，明确他们之间的关系，进而根据函数的概念概括出反函数的概念。由于函数是一种对应关系，这个概念本身就不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，另外，反函数的概念比较抽象，文字叙述又比较长
7、. 所以要弄清反函数的概念，正确理解反函数与函数之间的关系是必不可少的重要环节. 因此，要弄清反函数的概念，又不得不弄清函数和反函数的“三反”关系，再根据函数的概念来理清反函数的概念 1.2反函数的定义：一般地，我们设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作. 反函数的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.（定义
8、域 ：指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称 。）例题1：已知f(x)=(x3)， 求f-1(5)。 解：设f-1(5)=x0， 则 f(x0)=5，即 =5 (x03) x02+1=5x0-5， x02-5x0+6=0。解得x0=3或x0=2(舍)， f-1(5)=3。例题2：已知f(x)=的反函数为f-1(x)=，求a，b，c的值。解：求f-1(x)=的反函数，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.(y-2)x=3y+5 x=(y2)，f-1(x)的反函数为 y=.即=， a=3， b=5， c=-2。2.反函数的性质： 2.1反函数相关性质的总结和分析。数学知识的
9、性质是指从数学概念直接推导得出的运算法则或者运算公式等延伸的知识，数学知识的概念和性质具有紧密的衔接关系。反函数性质就是指从反函数的概念直接推导出的反函数的运算形式 。2.1.1.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称例题：已知f(x)= (0x4)， 求f(x)的反函数。解： 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。0x4，0x216， 925-x225， 3y5， y=， y2=25-x2， x2=25-y2. 0x4，x= (3y5)将x， y互换， f(x)的反函数f-1(x)= (3x5)。2.1.2.函数存在反函数的充要条件是，函
10、数的定义域与值域是一一映射；严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。例题：已知函数。(1)求函数的单调增区间；(2)求其单调增区间内的反函数。解：复合函数y=fg(x)的单调性与y=f(t)，t=g(x)的单调性的关系：同增异减。(1)函数的定义域x|x2，又t=x2-2x=(x-1)2-1 x(-，0)，t是x的减函数而是减函数， 函数f(x
11、)在(-，0)为增函数。(2)函数f(x)的增区间为(-，0)， 令，则。 ，。 x0，2.1.3.一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；例如： 若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数,求证它的反函数f-1(x)也是增函数证明：在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1x2令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)f(y2)因为f(x)在其定义域D上是增函数，所以y1y2所以 f-1(x1)f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函数2.1.4.大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=ax,x0，但是y
12、=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 2.1.5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）.例题：设点(4，1)既在f(x)=ax2+b (a0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式。 解：解得.a=-， b=， f(x)=-x+.2.1.6.严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 例题：设函数y=f(x),(xA)是增函数，证明：它的反函数是增函数。证明：设y1,y2f(x)| xA, y1y2，则存
13、在x1,x2使y1=f(x1), y2=f(x2).f(x1)f(x2).f(x)是增函数,x1x2 即f -1(y1)f -1(y2).x= f -1(y)是增函数，即y=f -1(x)是增函数2.1.7.反函数是相互的且具有唯一性例题：求函数y =3x-2的反函数。 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R）2.1.8.定义域、值域相反对应法则互逆。2.1.9. 原函数一旦确定，反函数即确定。 通过上面反函数的九个性质的总结，为更好的解决有关反函数的问题提供了解题思路和方法
14、3.反函数在日常生活中的应用：在我们的生活中，处处存在数学知识。只要留意，就能发现.比如：增长率、企业成本与利润的核算、市场调查与分析等等，都可以让我们感受到数学应用的广泛性，并明确数学可以帮助他们更好地认识自然和人类社会，更好的适应生活，有效的进行表达和交流。3.1求反函数的步骤：我们知道在学习过程中，直接求原函数的值域是很困难，但通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，这样，通过反函数来求解很容易解决问题，一般求反函数的步骤是这样的： 3.1.1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步） 3.1.2、反解x，也就是用y来表示x； 3.1.3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x； 3.1.4、写出原函数及其值域。 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意实数） 特别地，形如kx+ky=b
