《高中数学 1.1.1 正弦定理学案 新人教A版必修5.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 1.1.1 正弦定理学案 新人教A版必修5.doc(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容;2. 掌握正弦定理的证明方法;3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题 学习过程 一、课前准备试验:固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二、新课导学 学习探究探究1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有,又, 从而在直角三角形ABC中, (探
2、究2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=,则, 同理可得, 从而 类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立请你试试导.新知:正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的 的比相等,即试试:(1)在中,一定成立的等式是( )A B.C. D.(2)已知ABC中,a4,b8,A30,则B等于 理解定理(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使, ,;(2)等价于 ,(3)正弦定理的基本作用为:已知三角形的任意两
3、角及其一边可以求其他边,如; 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如; (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形 典型例题例1. 在中,已知,cm,解三角形变式:在中,已知,cm,解三角形例2. 在变式:在三、总结提升 学习小结1. 正弦定理:2. 正弦定理的证明方法:三角函数的定义,还有 等积法,外接圆法,向量法.3应用正弦定理解三角形: 已知两角和一边;已知两边和其中一边的对角 知识拓展,其中为外接圆直径. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:
4、10分)计分:1. 在中,若,则是( ).A等腰三角形 B等腰三角形或直角三角形C直角三角形 D等边三角形2. 已知ABC中,ABC114,则abc等于( ).A114 B112 C11 D223. 在ABC中,若,则与的大小关系为( ).A. B. C. D. 、的大小关系不能确定4. 已知ABC中,则= 5. 已知ABC中,A,则= 课后作业 1. 已知ABC中,AB6,A30,B,解此三角形2. 已知ABC中,sinAsinBsinCk(k1)2k (k0),求实数k的取值范围为1.1.2 余弦定理 学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式;2. 证明余弦定理的向量方法;3. 运用余弦
5、定理解决两类基本的解三角形问题 学习过程 一、课前准备复习1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 = = 复习2:在ABC中,已知,A=45,C=30,解此三角形思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?二、新课导学 探究新知问题:在中,、的长分别为、. ,同理可得: , 新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角?从余弦定理,又可得到以下推论:, , 理解定理(1)若C=,则 ,这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例(
6、2)余弦定理及其推论的基本作用为:已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边;已知三角形的三条边就可以求出其它角试试:(1)ABC中,求(2)ABC中,求 典型例题例1. 在ABC中,已知,求和变式:在ABC中,若AB,AC5,且cosC,则BC_例2. 在ABC中,已知三边长,求三角形的最大内角变式:在ABC中,若,求角A三、总结提升 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;2. 余弦定理的应用范围: 已知三边,求三角; 已知两边及它们的夹角,求第三边 知识拓展在ABC中,若,则角是直角;若,则角是钝角;若,则角是锐角 学习评价 自我评价
7、你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 已知a,c2,B150,则边b的长为( ). A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为( ).A B C D3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是( ).A Bx5C 2x Dx54. 在ABC中,|3,|2,与的夹角为60,则|_5. 在ABC中,已知三边a、b、c满足,则C等于 课后作业 1. 在ABC中,已知a7,b8,cosC,求最大角的余弦值2. 在ABC中,AB5,BC7,AC8,求的值.1.1
8、 正弦定理和余弦定理(练习) 学习目标 1. 进一步熟悉正、余弦定理内容;2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形 学习过程 一、课前准备复习1:在解三角形时已知三边求角,用 定理;已知两边和夹角,求第三边,用 定理;已知两角和一边,用 定理复习2:在ABC中,已知 A,a25,b50,解此三角形二、新课导学 学习探究探究:在ABC中,已知下列条件,解三角形. A,a25,b50; A,a,b50; A,a50,b50.思考:解的个数情况为何会发生变化?新知:用如下图示分析解的情况(A为锐角时)试试:1. 用图示分析(A为直角时)解的情况?2用图示分析(
9、A为钝角时)解的情况? 典型例题例1. 在ABC中,已知,试判断此三角形的解的情况变式:在ABC中,若,则符合题意的b的值有_个例2. 在ABC中,求的值变式:在ABC中,若,且,求角C三、总结提升 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决);2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决);3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决);4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也可用余弦定理,可能有一解、两解和无解三种情况) 知识拓展在ABC中,已知,讨论三角形解的情况 :当A为钝角或直角时,必须才能有且只有一解;否则无解;当A为锐角时,如果,那么只有一解;如果,那
10、么可以分下面三种情况来讨论:(1)若,则有两解;(2)若,则只有一解;(3)若,则无解 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1. 已知a、b为ABC的边,A、B分别是a、b的对角,且,则的值=( ).A. B. C. D. 2. 已知在ABC中,sinAsinBsinC357,那么这个三角形的最大角是( ). A135 B90 C120 D1503. 如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( ).A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加长度决定4. 在ABC中,sinA:sinB:sinC4:5:6,则cosB 5