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1、6/21/2020,同济版高等数学课件,*三、向量的混合积,第二节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,数量积 向量积 *混合积,第八章,6/21/2020,同济版高等数学课件,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,6/21/2020,同济版高等数学课件,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,6/21/2020,同济版高等数学课件,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,6/21/2020,同济版高等数学课件,例1. 证明三角形余弦定理,证: 如图 .,则,设,6/21
2、/2020,同济版高等数学课件,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,6/21/2020,同济版高等数学课件,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,6/21/2020,同济版高等数学课件,为 ) .,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度,例3. 设均匀流速为,的流体流过一个面积为 A 的平,面域 ,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积:,的夹角为,且,6/21/2020,同济版高等数学课件,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,6/21/2020,同济版高等数学
3、课件,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 右图三角形面积,S,6/21/2020,同济版高等数学课件,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,6/21/2020,同济版高等数学课件,4. 向量积的坐标表示式,设,则,6/21/2020,同济版高等数学课件,向量积的行列式计算法,( 行列式计算见上册 P355P358 ),6/21/2020,同济版高等数学课件,例4. 已知三点,角形 ABC 的面积 .,解: 如图所示,求三,6/21/2020,同济版高等数学课件,一点
4、M 的线速度,例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上,的表示式 .,解: 在轴 l 上引进一个角速度向量,使,其,在 l 上任取一点 O,作,它与,则,点 M离开转轴的距离,且,符合右手法则,的夹角为 ,方向与旋转方向符合右手法则 ,向径,6/21/2020,同济版高等数学课件,*三、向量的混合积,1. 定义,已知三向量,称数量,混合积 .,几何意义,为棱作平行六面体,底面积,高,故平行六面体体积为,则其,6/21/2020,同济版高等数学课件,2. 混合积的坐标表示,设,6/21/2020,同济版高等数学课件,3. 性质,(1) 三个非零向量,共面的充要条件是,(2) 轮换对称
5、性 :,(可用三阶行列式推出),6/21/2020,同济版高等数学课件,例6. 已知一四面体的顶点,4 ) , 求该四面体体积 .,解: 已知四面体的体积等于以向量,为棱的平行六面体体积的,故,6/21/2020,同济版高等数学课件,例7. 已知 A (1,2,0)、B (2,3,1)、C (4,2,2)、,四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.,解: A、B、 C、M 四点共面,展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程,即,6/21/2020,同济版高等数学课件,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,6/21/2020,同济版高等数学课件,混合积:,2. 向量关系:,6/21/2020,同济版高等数学课件,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,6/21/2020,同济版高等数学课件,证: 由三角形面积公式,所以,因,6/21/2020,同济版高等数学课件,P22 3 , 4 , 6 , 7 , 9(1) ; (2) , 10 , 12,第三节,作业,6/21/2020,同济版高等数学课件,备用题,1. 已知向量,的夹角,且,解：,6/21/2020,同济版高等数学课件,在顶点为,三角形中,求 AC 边上的高 BD .,解：,三角形 ABC 的面积为,2.,而,故有,
