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1、圆1圆的认识(1)以点O为圆心的圆叫作“圆O”,记为“O”。(2)线段OA、OB、OC都是圆的半径,线段AC为直径。(3)连结圆上任意两点之间的线段叫做弦。直径是圆中最长的弦。(4)圆上任意两点间的部分叫做弧。小于半圆周的圆叫做劣弧。大于半圆周的圆弧叫做优弧。(5)圆心角:顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角。如AOB、AOC、BOC就是圆心角。2圆的对称性(1)圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。(2)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
2、(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在中, 弧弧3.圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。即:; 弧弧 上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,4圆周角(1)圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角。(2)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90(直角
3、)。90的圆周角所对的弦是圆的直径。(3)同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。(4)同弧(或等弧)所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧相等。(5)若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在中, 是直角三角形或注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。5点与圆的位置关系设O的半径为r,点圆心O的距离为d,则(1)点在圆外 (2)点在圆上 (3)点在圆内 6(1)过一点可以画无数个圆;过两点可以画无数个圆,圆心在两点连线的垂直平分线上;过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。(2)三角形的外接圆
4、:经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等。(3)一个三角形的外接圆是唯一的。7直线与圆的位置关系(1)如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离。(2)如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点(3)如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线如上图,设O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,从图中可以看出:若 直
5、线l与O相离;若 直线l与O相切;若 直线l与O相交;8切线(1)判定定理:经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。即:且过半径外端是的切线证明切线常用的方法:1.连半径,证垂直; 2.作垂直,证半径。(2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。(3)切线长:切线上某一点与切点之间的线段的长.性质:从圆外一点可以引圆的两条切线,切线长相等,这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。即:、是的两条切线 ,平分.(4)三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。这
6、个三角形叫做这个圆的外切三角形,三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等。9.圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补.即:在中,四边形是内接四边形 10圆和圆的位置关系1)两个圆没有公共点,那么就说两个圆相离,其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含。(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆。2)如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切。3)如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如(6)所示。(1)两圆外离;(2)两圆外切;(3)两圆外离;(4)两圆外离;(5)两圆外离11.圆内正多边形的计算
7、(1)正三角形 在中是正三角形,有关计算在中进行:;(2)正四边形 :(3)正六边形 .12圆中的计算问题(1)弧长的计算公式为:(2)扇形:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。扇形面积的计算公式:圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积(3)圆锥的母线:把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线。圆锥的高:连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.(4)圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长,圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,即S=ra 圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.即=