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1、例谈数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成是关于n的函数，特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n的一次函数（公差d时），而其求和公式可以看成是关于n的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法，数列中各项大小的比较，可以借助函数图象的直观性来比较.因此，许多数列问题可以用函数的知识进行分析，加以解决.1等差数列的通项公式可以看成自变量为n的一次函数（公差d时）例1已知等差数列，其前n项和为，是否存在常数k，使得成立.分析：将看成是n的一次函数，设出函数解析式并代入进行求解.解：设存在常数k，使得成立，令（p、q为常数），则.又,，代入式变
2、为，由，得 或.将p=0代入、不成立.将kp=代入，得，代入，得，即，从而得出存在常数k，使得成立.评注：存在型探索性问题，是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句，以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是：通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.2构造一次函数模型，利用一次函数图象性质解题例等差数列的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为（）.（）30（B）170（C）210（D
3、）260分析：运用等差数列求和公式，先对进行变形，则可以看成是关于n的一次函数，再利用点共线的性质求解. 解：由，可得，由此可知数列成等差数列，三点共线.，.评注：可以看成是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点，本题是利用点共线的条件建立方程求解的.运用该法还可以推得在等差数列中若，则等差数列的通项公式也可以看成是关于n的一次函数，利用该性质可推知等差数列中若，则.3等差数列的前n项和可看成是关于n的二次函数例3已知等差数列，首项，且，问此数列前几项的和最大？最大值是多少？分析：等差数列前n项和为特殊的二次函数，所以可采用配方法求其最值.解：设等差数列公差为d，前n项和为，即，当n=6或n
4、=7时，为最大.评注：关于等差数列前n项和最大（小）问题，可转化为二次函数问题，再结合二次函数的最值问题加以分析，但应特别注意，当对称轴不是正自然数时，应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式，再求值比较，以便确定n取何值时，最大（最小）.4利用函数单调性知识解（证）数列中的单调性问题例4已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求证数列是递减数列.分析：本题已知函数关系式，并给出了的关系式，将其看作关于的方程解出即可.数列是特殊的函数，借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.（1）解：，即.，（）解得 又，；（2）证明：由又.数列是递减数列.评注：本题主要应用函数与方程的思想解题，（）式可看成是关于的方程；而求出的通项公式又反映了是关于n的函数.解题过程中这个细节要注意
