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1、例谈数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成是关于n的函数,特别是等差数列的通项公式可以看成是关于n的一次函数(公差d时),而其求和公式可以看成是关于n的二次函数.数列的单调性的判断可以借助于函数单调性的判断方法,数列中各项大小的比较,可以借助函数图象的直观性来比较.因此,许多数列问题可以用函数的知识进行分析,加以解决.1等差数列的通项公式可以看成自变量为n的一次函数(公差d时)例1已知等差数列,其前n项和为,是否存在常数k,使得成立.分析:将看成是n的一次函数,设出函数解析式并代入进行求解.解:设存在常数k,使得成立,令(p、q为常数),则.又,,代入式变
2、为,由,得 或.将p=0代入、不成立.将kp=代入,得,代入,得,即,从而得出存在常数k,使得成立.评注:存在型探索性问题,是指判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)不确定的问题.这类问题常常出现“是否存在”、“是否有”等形式的疑问句,以示结论有待于确定.解答此类问题的思路是:通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中一部分的结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论的证明.2构造一次函数模型,利用一次函数图象性质解题例等差数列的前n项和为30,前2n项和为100,则它的前3n项和为().()30(B)170(C)210(D
3、)260分析:运用等差数列求和公式,先对进行变形,则可以看成是关于n的一次函数,再利用点共线的性质求解. 解:由,可得,由此可知数列成等差数列,三点共线.,.评注:可以看成是关于n的一次函数,其图象是直线上的离散点,本题是利用点共线的条件建立方程求解的.运用该法还可以推得在等差数列中若,则等差数列的通项公式也可以看成是关于n的一次函数,利用该性质可推知等差数列中若,则.3等差数列的前n项和可看成是关于n的二次函数例3已知等差数列,首项,且,问此数列前几项的和最大?最大值是多少?分析:等差数列前n项和为特殊的二次函数,所以可采用配方法求其最值.解:设等差数列公差为d,前n项和为,即,当n=6或n
4、=7时,为最大.评注:关于等差数列前n项和最大(小)问题,可转化为二次函数问题,再结合二次函数的最值问题加以分析,但应特别注意,当对称轴不是正自然数时,应将与对称轴最接近的两个自然数代入函数关系式,再求值比较,以便确定n取何值时,最大(最小).4利用函数单调性知识解(证)数列中的单调性问题例4已知函数,数列满足(1)求数列的通项公式;(2)求证数列是递减数列.分析:本题已知函数关系式,并给出了的关系式,将其看作关于的方程解出即可.数列是特殊的函数,借助函数的增减性的方法来证明数列的增减性.(1)解:,即.,()解得 又,;(2)证明:由又.数列是递减数列.评注:本题主要应用函数与方程的思想解题,()式可看成是关于的方程;而求出的通项公式又反映了是关于n的函数.解题过程中这个细节要注意