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1、第第1717讲讲电流密度，欧姆定律，焦电流密度，欧姆定律，焦 耳定律的微分形式耳定律的微分形式 授课内容授课内容 电流密度，欧姆定律，焦耳定律电流密度，欧姆定律，焦耳定律 的微分形式的微分形式 电流电动势与局外场强电流电动势与局外场强 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 基本方程E E的旋度 边值问题边界条件 电位 一般解法电导与接地电阻特殊解(静电比拟) 恒定电场知识结构恒定电场知识结构 基本物理量J J、 E E 欧姆定律 J J的散度 自由电荷运动引起的电流类型 传导电流在导体或半导体中，由载流电子或空穴运动引起的电流。 电离电流电解溶液中正和负离子运动引起的电流。 运流电流真空中的电
2、子或离子运动引起的电流。 位移电流随时间变化的电场产生的假想电流。 恒定电场的基本概念 电荷是运动的。（有电流） 电场是不变的。 电流恒定。 电场由积累电荷产生 积累电荷不变，与镜电荷相似 + - + - + + + + - - - - I 是通量,并不反映电流在每一点的流动情况。 1.2 1.2 恒定电场的基本物理量恒定电场的基本物理量电流密度电流密度 J 称为该点上的电流体密度矢量。 1.11.1电流强度电流强度 1.1.导电媒质中的电流导电媒质中的电流 单位时间内通过某一横截面的电量，简称为电流。 在体积中流动的电流的某一点上，若正电荷运动的方向（即电流方向）为 n， S为该点上垂直于n
3、 n的面元， I为面元上通过的电流，则定义矢量： 1). 1). 体电流密度矢量体电流密度矢量 体电流密度矢量 v Jv 已知运动电荷的体密度 v及运动速度v，如果在电流区 域某点取一面元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿 过dS的电荷为： S IJdS 求通过某面S的电流I： 则： 在恒定电场中，J 不是时间的函数，但一般是空间坐标变量的矢量函 数。它的分布反映了电流场的分布。恒定电场中也可以用 J 矢量线来 描绘电流场。 dl vdt v dS v 2). 2). 面电流密度矢量面电流密度矢量 在工程中常遇到电流在厚度可以忽略的薄层 中流动的情况，这时引入面电流概念来描述 。若某点电流
4、方向为n，l为该点上垂直于n 的线元， I为线元上通过的电流，则： 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用面电流 密度表示。 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用面电流 密度表示,如图示； 工程意义：工程意义： 或 媒质的磁化电流 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； 分布的线电荷沿着导线以速度 v 运动形成的电流 I = 。 3)3)、线电流、线电流 如果导体沿细导线或空间一线形区域流动，则这样的电流可近似 看作是沿截面为0的几何线流动的线电流I 。 4). 4). 元电流的概念元电流的概念 元电流是元电荷以速度v 运动形成的电流 qd dd dd dd () ( ( v s
5、 l I 体电流元 面电流元） 线电流元） s J J l l VV SS 1.3 1.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 电场是维持恒定电流的必要条件。可以证明 mevE e e u m E vE e e u m eN e JvNeu E JE 2 e eN Neu m 其中 电子迁移率 设单位体积中的自由电子数为N，那么电荷密度为： 传导电流密度为： 令 欧姆定律的微分形式，式中 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。 恒定电流场与恒定电场相互依存。电流 J 与电场 E 方向一致。 设电子的质量为m，平均两次碰撞间隔为，电 场强度为E，漂移速度为v，质点动量定理，有： dl J E
6、dS 另证：另证： 电路理论中的欧姆定律由它积分而得欧姆定律由它积分而得 左边 S J dSI 右边 S EdS GU S U lS U dS l 所以URI 欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微 分形式不仅对稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。 1.4 1.4 焦尔定律的微分形式焦尔定律的微分形式 在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果 产生热能，这是一种不可逆不可逆的能量转换。这种能量损失将由外源不 断补给，以维持恒定的电流。 设在恒定电流场中，沿电流方向取 一个长度为 dl，端面为 dS 的小圆柱体， 如图所示。 dl U J dS + - + + + + -
7、 - - - 若在电场力作用下，dt时间内有dq电荷自圆柱的左端面移至右 端面，那么电场力作的功为 dddd dWqE q lEl 电场损失的功率P 为 dWdq PEdlEIdlEJdSdl dtdt 那么，单位体积中的功率损失为 2 2 l J pEJE 当J 和E的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式 l pE J 此式称为焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的 电场强度与电流密度的标积。 dl U J dS 设圆柱体两端的电位差为U，则，又知，那么单位体 积中的功率损失可表示为 U E dl I J dS l UIUI p dSdldV 可见，圆柱体中的
8、总功率损失为 l PpdVUI 这就是电路中的焦耳定律焦耳定律。 2 2 电源电势与局外场强电源电势与局外场强 要想在导线中维持恒定电流，必须依 靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬 到A极板。这种提供非静电力将其它形式的 能量转为电能装置称为电源。 1) 1) 电电 源源 恒定电流的形成 因此() 0 ee lll EEdlE dlEdl 局外场 Ee是非保守场。 考虑局外场强 () e JEE e E 2) 2) 电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强 设局外场强为，则电源电动势为( ) e l EdlV e e f E q 电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。 电源
9、电动势与局外场强 3) 3) 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 3.1 3.1 电流连续性方程电流连续性方程 散度定理 ()0 V JdV t V q dV tt J t S q JdS t J n cosdIJdsJ ds s IJds dq J ds dt 单位时间穿过dS的电荷 根据电荷守恒，单位时间净穿出的电荷 量等于单位时间S内电荷的减少量 0 S JdS 对于恒定电场，电场不变， 要求电荷分布不变 0 q t 在恒定电场中 0 t 恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。 故 0J b. E 的旋度 恒定电场是无旋场。 所取积分路径不经过电源，则 0()0 l s E dlEdS
10、 斯托克斯定理 得 c. 恒定电场的电位表示 a. J J 的散度 3.2 3.2 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 E 2 ()0JEEEE 2 0 0E 0 d. 恒定电场（电源外）的基本方程 恒定电 场是无源 无旋场。 0 sJ dS 0 eE dl JE 0J 0E E 5.导电媒质中的体积电荷 ()()( ) J DEJJ 0J 在恒定电场有： ( ) J 在不均匀媒质中，由于介电常数和电导率是坐标变量的函数，体积电荷一般不为在不均匀媒质中，由于介电常数和电导率是坐标变量的函数，体积电荷一般不为 零。零。 对均匀媒质，没有体积电荷的堆积，但在没有达到稳恒状态之前，即便是均匀导对均
11、匀媒质，没有体积电荷的堆积，但在没有达到稳恒状态之前，即便是均匀导 体，其体积电荷也不为体，其体积电荷也不为0 0。 ()( ) D JDD t ( )0,D t 00 t t ee 为弛豫时间 积分形式微分形式 0 0 所取积分路径不经过电源所取积分路径不经过电源 作作业业 Page108: 3-1， 3-8 1. 干电池和钮扣电池（化学电源） 电源 干电池电动势1.5V，仅取决于 （糊状）化学材料，其大小决定储 存的能量，化学反应不可逆。 钮扣电池电动势1.35V，用固体化学材料，化学 反应不可逆。 干电池 钮扣电池 氢氧燃料电池示意图 2. 燃料电池（化学电源） 电池电动势1.23V。以
12、氢、氧作为燃料。约 40%45%的化学能转变为电能。 实验阶段加燃 料可继续工作。只要不断供 给燃料，就可以不断输出电 能，化学反应结果生成水， 以水蒸汽的形式排走。 燃料电池属环保产品， 排出的水可以用作饮料或 淋浴用。 3. 太阳能电池（光能电源） 一块太阳能电池电动势0.6V。 太阳光照射到PN结上，会形成一 个从N区流向P区的电流。约 11% 的光能转变为电能 ，故常用太阳 能电池板。 一个50cm2太阳能电池的电动 势为0.6V，电流为0.1A。 太阳能电池示意图 蓄电池示意图 4. 蓄电池（化学电源） 电池电动势2V。使用时，电池放电，当电解液 浓度小于一定值时，电动势低于2V，常要充电，化 学反应可逆。 蓄电池进行化学反应 对外电路放电，当硫酸浓 度降到一定值时，电动势 小于 2 V ，要对蓄电池充 电（还原反应）。
