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1、实验报告实验课程： 数字信号处理 实验内容： 实验5 FFT变换及其应用 院 （系）： 计算机学院 专 业： 通信工程 班 级： 111班 2013年 6 月26日一、 实验目的：1. 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程序。2. 熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。3. 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正确应用FFT。二、 实验原理：在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，我们可以使用离散Fouier变换(DFT)。这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x
2、(n)的长度为N时，它的DFT定义为：反变换为： 有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。 FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的FFT是以2为基数的，其长度 。它的效率高，程序简单，使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。 (一)在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三种误差： (1)混叠 序列的频谱被采样
3、信号的周期延拓，当采样速率不满足奈奎斯特定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样前先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。 (2)泄漏 实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频谱是原序列频谱的扩展。泄漏不能与混叠完全分开，因为泄
4、漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。 (3)栅栏效应 DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不能别我们观察到。 减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。三、 实验内容及步骤：(
5、1)用FFT计算连续时间信号的频谱。分析：该信号峰值为1，在t50其幅度小于0.0067，所以若选择L=N*T=50，则信号的主要部分将被覆盖，因信号有效长度不够导致的频谱泄漏可以忽略，可先在L=50中选定几组采样组合T1=2,N1=25;T2=1,N2=50;T3=0.5,N3=100;T4=0.1,N4=500，作图查看采样频率在采样时间T为多少时，频谱混叠现象基本可以忽略。原理：检查信号折叠频率处的幅度值，越小越好，一般可以将之与幅频特性曲线中的最大值相比较，若比值小于1%则混叠可以忽略，当然为0更好（实际不可能）。然后固定采样时间T=0.1，缩短信号取样长度，观察信号频谱什么时候出现明
6、显泄漏，可固定T=0.1，分别取N=20,50,500,800观察。最后，可以将T=0.1，N=500与T=0.1,N=500(后300点为补零点)的频谱对比，试分析得出的结果。1、L=50中选定几组采样组合T1=2,N1=25;T2=1,N2=50;T3=0.5,N3=100;T4=0.1,N4=500，作图查看采样频率在采样时间T为多少时，频谱混叠现象基本可以忽略。程序代码: T=2 1 0.5 0.1; N=25 50 100 500; for step=1:1:4 n=0:(N(step)-1); x=exp(-0.1*n*T(step); subplot(2,4,step); ste
7、m(n,x); title(时域信号(T=,num2str(T(step),N=,num2str(N(step),); xlabel(时间); ylabel(振幅); grid; subplot(2,4,step+4); h=T(step)*fftshift(fft(x); D=2*pi/(N(step)*T(step); k=floor(-(N(step)-1)/2:(N(step)-1)/2); plot(k*D,abs(h); g=abs(h(1)/abs(h(fix(N(step)/2); titleLine1= 幅频特性; titleLine2=振幅 (混叠系数：=,num2str(
8、g),); %title(titleLine2;titleLine2); %分成两行显示 xlabel(模拟频率); ylabel(titleLine2); title(titleLine1); %if step=4 %sp=input(请输入幅频特性横轴显示范围); %axis(-5 5 0 12); %elseif step=2 % axis(235 265 0 12); %end grid end str=; disp(str); disp(所有图形绘制完毕); str=; disp(str); % 矩阵赋值方法：x=1 2 3或x=1，2，3是赋值一行，x=1；2；3是赋值一列， %
9、x=1,2,3;4,5,6是赋值两行三列矩阵。一个两行三列矩阵x，取数要用如x(2,3)方式取 % 字符串数组也类似，但字符串数组是以单个字符而非引号内的串为最小 % 存储单位，如str=abc,def;xyz,dgf是两行六列的字符矩阵而非字符串矩阵 % 注意每行的字符数必须一样，否则矩阵失衡。x(2,:)是取矩阵第二行实验结果截图：2、 固定采样时间T=0.1，缩短信号取样长度，观察信号频谱什么时候出现明显泄漏，可固定T=0.1，分别取N=20,50,500,800观察。实验代码： T=0.1; N=20 50 500 800; for step=1:1:4 n=0:(N(step)-1)
10、; x=exp(-0.1*n*T); subplot(2,4,step); stem(n,x); title(时域信号(T=,num2str(T),N=,num2str(N(step),); xlabel(时间); ylabel(振幅); grid; subplot(2,4,step+4); h=T*fftshift(fft(x); D=2*pi/(N(step)*T);k=floor(-(N(step)-1)/2:(N(step)-1)/2); plot(k*D,abs(h); g=abs(h(1)/abs(h(fix(N(step)/2); titleLine1= 幅频特性; titleL
11、ine2=振幅 (混叠系数：=,num2str(g),); xlabel(模拟频率); ylabel(titleLine2); title(titleLine1); end str=; disp(str); disp(所有图形绘制完毕); str=; disp(str);实验结果截图：3、 以将T=0.1，N=500与T=0.1,N=500(后300点为补零点)的频谱对比，试分析得出的结果。实验代码： T=0.1; N=500; M=150; n=0:N-1; m=0:M-1; x1=exp(-0.1*n*T); x2=exp(-0.1*m*T) zeros(1,350); x=x1;x2;
12、for step=1:1:2 subplot(2,2,step); stem(n,x(step,:); title(时域信号); xlabel(时间); ylabel(振幅); grid; subplot(2,2,step+2); h=T*fftshift(fft(x(step,:); D=2*pi/(N*T); k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); plot(k*D,abs(h); titleLine1= 幅频特性; xlabel(模拟频率); ylabel(振幅); title(titleLine1); axis(-8 8 0 12); grid end str=; dis
13、p(str); disp(所有图形绘制完毕); str=; disp(str);实验结果截图：（2）用FFT计算连续时间信号 的频谱分析：若混叠系数（幅频特性曲线中奈奎斯特频点处对应幅值与峰值之比）小于1%，则混叠效应可以忽略。分别取T=0.6,N=512和T=0.1,N=4096进行计算，通过频谱图形相关计算和对比，得出合理采样间隔T。然后固定T=0.1，改变N(分别取N=512,1024, 2048，4096),当N取多少时，频谱图无频谱泄漏且物理分辨率达到要求（能够分辨出两个单频点）？请分析信号频谱图形结果（必要时使用图形“放大镜”工具观察或通过axis()函数改变频率轴显示范围）。1、分别取T=0.6,N=512和T=0.1,N=4096进行计算，通过频谱图形相关计算和对比，
