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1、【专题】平面几何:线段垂直相等问题一、 简介在一些几何证明题中,条件出现正方形、等腰直角三角形,或者一些其他线段的位置和数量关系,然后求证两条线段垂直且相等。这类题目有一定的技巧性,现总结出通用方法如下。二、 基本方法若两个全等三角形两边对应垂直,则它们的第三边也垂直。如图,OAOC且OA=OC,OBOD且OB=OD,=ABCD且AB=CD。在具体的题目中,要求找到或者构造这样的适合条件的全等三角形,证明这两个辅助三角形另外两边分别垂直相等,即可推出第三边(即需证边)垂直且相等。具体方法为:(一) 要证的两条线段共端点如图,要证OAOB且OA=OB,可以考虑分别过A、B作过O的一条直线的垂线,
2、证明AOCBOD。或者直接找到OCOD且OC=OD,再证ACBD且AC=BD即可。选择要根据题目灵活处理。(二) 要证的两条线段不共端点如图,要证ABCD且AB=CD,看起来两条线段毫无沟通关系,比较难下手。实际上,根据上述基本方法的定义,方法不言而喻:连接异线段端点BD,以BD为斜边作等腰RTBDO,证明OAOC且OA=OC即可。另外,如果直接证明有困难,可以考虑利用中位线的知识,把要证的线段位似放大为原来的两倍,放大后保持原线段位置关系。证明放大后的线段垂直相等就可以了。三、 例题及解析1、如图,任意三角形ABC,以AB和AC为边向外作两个正方形ABGF和ACDE,M是GD中点。求证:MB
3、MC且MB=MC。解析:要证的线段MB、MC共端点,结合过M有一条与已知条件关联非常大的直线DG,经尝试可知应过B、C作DG垂线。这时需证MP=CQ和BP=QM。显然条件还是无法利用,于是再过E、F作EK、FJDG。以证MP=CQ为例,首先不难得CQ=DK,故只需证MP=DK,即证明PK=MD=DG。为了看图方便,去掉多余部分,重新作图如下:在GD上取N使PG=PN,则可推BN=BG,进而得B是ANG外心,得ANG=45,又由EA=ED,AND=135可得E是AND的外心,故EN=ED,即NK=DK,于是就得PK=GD。2、如图,分别以任意三角形ABC三边为边向外作三个正方形ABGF、CBHI
4、和ACDE,O1、O2、O3分别是三个正方形的中心。求证:AO2=O1O3且AO2O1O3。解析:根据基本方法,要证的线段不共端点,于是连接AO1,并以AO1为边作等腰RTAO1M,发现M恰好在AB中点上! 之后要证MO2MO3且MO2=MO3。不难联想到利用中位线把它们同时放大为原来的2倍,且不改变位置关系。而CICB且CI=CB,CACD且CA=CD,于是AIBD且AI=BD,于是MO2MO3且MO2=MO3。3、如图,以任意四边形ABCD的四条边为边,向外作四个正方形AEFB,BGHC,CIJD,DKLA。设它们的中心分别为O1,O2,O3,O4。求证:O1O3=O2O4且O1O3O2O
5、4。解析:类比例题2,连接O1O2并以其为斜边作等腰RTO1O2M,看起来M还是难以确定。实际上若作图精确,就会发现M是AC中点。类似题2,利用中位线把另外两组边(MO1和MO2,MO3和MO4)放大为原来的2倍且不改变位置关系,即可得证。4、如图,四边形ABCD、四边形AFGE都是正方形,M是CG的中点。求证:MDMF且MD=MF。解析:MD和MF共端点,而且发现DEBF且DE=BF(由AD和AB垂直且相等,AE和AF垂直且相等得到),可以考虑连接ME和MB,证明ME和MB垂直且相等即可。如图,倍长GE至P,倍长CB至Q,再一次利用中位线放大ME和MB,需证CP和QG垂直且相等。这可以由APAG且AP=AG,ACAQ且AC=AQ得到。5、如图,四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形,M、N、P、Q分别是AE,BF,CG,DH中点。求证:四边形MNPQ也是正方形。解析:即证明QPQM且QP=QM(另外一组同理)。直接证明有困难,就考虑利用中位线位似放大,于是如图倍长GQ至K,倍长HM至J,证明DJCK且DJ=CK即可。这一点是明显的。首先,DCDA且DC=DA,然后因为DKGH且DK=GH,AJHE且AJ=HE,而GHHE且GH=GE,于是DKAJ且DK=AJ。这样命题就得证了。