《（浙江专版）高考数学一轮复习第二章函数.3二次函数与幂函数课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专版）高考数学一轮复习第二章函数.3二次函数与幂函数课件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 2 3二次函数与幂函数 高考数学 考点二次函数与幂函数一 二次函数1 二次函数的定义形如f x ax2 bx c a 0 的函数叫做二次函数 2 二次函数的三种表示形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x h 2 k a 0 3 两根式 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函数的图象和性质 1 图象 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象是以直线x 为对称轴的 知识清单 抛物线 其开口方向由a的符号确定 顶点坐标为 2 性质 当a 0时 若x 则f x 单调递减 若x 则f x 单调递增 当a0和ax2 bx c 0时 二次项系数a都要
2、变为正数 解一元二次方程时 二次项系数a同样也 变为正数 在解一个一元二次方程时 往往要借助于二次函数的图象来解 见下列表格 二 幂函数1 幂函数的概念 1 一般地 形如 y x R 的函数叫做幂函数 2 幂函数的图象都通过点 1 1 3 在幂函数y x y x2 y x3 y y x 1中 为奇函数的是y x y x3 y x 1 为偶函数的是y x2 定义域为R的是y x y x2 y x3 定义域为 0 的是y 在第一象限内是增函数的是y x y x2 y x3 y 是减函数的是y x 1 2 幂函数的图象及性质 1 一般地 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 0 0
3、1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而增大 c 在第一象限内 1时 图象是向下凸的 0 1时 图象是向上凸的 d 在第一象限内 过 1 1 点后 越大 图象上升的速度越快 2 当 0时 幂函数y x 有下列性质 a 图象都通过点 1 1 b 在第一象限内 函数值随x的增大而减小 图象是向下凸的 c 在第一象限内 图象向上与y轴无限地接近 向右与x轴无限地接近 d 在第一象限内 过 1 1 点后 越大 图象下落的速度越快 3 在 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 在 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 简记为 指大图高 三个 二次 问题的处理方法
4、二次函数 一元二次方程和一元二次不等式统称为三个 二次 它们常结合在一起 而二次函数又是其核心 因此 利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略 如一元二次方程根的分布问题常借助二次函数图象 从开口方向 对称轴 判别式 端点函数值四方面入手处理 例1 2017浙江镇海中学第一学期期中 20 已知函数f x x2 ax b a b R 1 若对任意实数a 总存在实数m 当x m 1 m 1 时 使得f x 0恒成立 求b的最大值 2 若存在x R 使不等式f x ax b 2 x a x 1 a 成立 求a的取值范围 方法技巧 解题导引 1 由存在性知区间 m 1 m 1 是不等式f x
5、 0的解集的子集 由子集关系得关于a b的不等式 分离变量得结论 2 求命题的对立面 把存在性问题转化为恒成立问题 分区间讨论去掉绝对值 利用函数最值解决恒成立问题 求补集 得结论 解析 1 易知 a2 4b 0 由x2 ax b 0 得 x 依题意 对任意实数a 总存在实数m 使得 m 1 m 1 所以 2 即4b a2 4对于任意实数a恒成立 故4b 4 即b 1 故b的最大值为 1 4分 2 先求使不等式x2 2 x a x 1 a 对任意x R恒成立的a的取值范围 当x a 1时 不等式化为x2 x 1 a 2 a x 即x2 x 1 a 亦即a 若a 1 即a 则a 矛盾 若a 10
6、 解得a 1 或a2 a x 即x2 3x 1 3a 亦即3a0 解得a 1 或a1 若a1 10分 当x a时 不等式化为x2 x 1 a 2 x a 即x2 x 1 a 亦即 a 所以 13分 综合 得 使不等式x2 2 x a x 1 a 对任意x R恒成立的a的取值范围是 a 1 故存在x R 使不等式f x ax b 2 x a x 1 a 成立的a的取值范围是a 1 或a 15分 关于二次函数值域和最值的解题策略1 研究二次函数在闭区间上的最值或值域问题时 最好是作出二次函数的大致图象 特别是遇到对称轴固定而区间变化 或对称轴变化而区间固定这两种情形时 利用函数图象作参考 可找出讨
7、论时的分类标准 2 对于f x 0在区间 a b 上恒成立的问题 一般等价转化为f x min 0 x a b 对于f x 0在区间 a b 上恒成立的问题 一般等价转化为f x max 0 x a b 若f x 中含有参数 则要对参数进行讨论或分离参变量 例2 2017浙江衢州教学质量检测 1月 16 若f x x2 ax b a b R x 1 1 且 f x 的最大值为 则4a 3b 解题导引取特殊值得关于a b的不等式组 消去a得b的值 代入不等式组得a的值 结论 解析由题可知 即而 1 a b 1 a b 2 1 b 所以2 1 b 1 解得 b 另一方面 b 等价于 b 所以b 所
8、以解得a 0 综上 故4a 3b 答案 幂函数的解题策略1 在比较幂的大小时 必须结合幂的特点 选择适当的函数 借助单调性进行比较 如果幂的底数相同 指数不同 可以利用指数函数的单调性比较 如果幂的底数不同 指数相同 则可以利用幂函数的单调性比较 当幂的底数和指数都不相同时 常常要运用媒介法 即找到一个中间值 通过比较两个幂与中间值的大小 确定两个幂的大小 当比较多个幂的大小时 往往先判断这组数中每个幂与0 1等数的大小关系 据此将它们分成若干组 再将同一组内的各数利用相关方法进行比较 最终确定各数之间的大小关系 2 有关幂函数的图象和性质问题 要充分利用幂函数的概念和第一象限内图象的性质 借
9、助函数的奇偶性 单调性解决 例3设a b c 则a b c的大小关系是 A a c bB a b cC c a bD b c a A 解析 y 是R上的减函数 而c b 例4已知函数f x m2 m 1 x 5m 3 m为何值时 f x 分别满足下列条件 1 是幂函数 2 是幂函数 且是 0 上的增函数 3 是正比例函数 4 是反比例函数 5 是二次函数 解析 1 f x 是幂函数 m2 m 1 1 即m2 m 2 0 解得m 2或m 1 2 若f x 是幂函数且是 0 上的增函数 则 m 1 3 f x 是正比例函数 5m 3 1 得m 此时m2 m 1 0 m 4 f x 是反比例函数 5m 3 1 得m 此时m2 m 1 0 m 5 f x 是二次函数 5m 3 2 得m 1 此时m2 m 1 0 m 1
