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1、2016年考研数学基础班概率统计讲义第一章 随机事件与概率例题选讲一、填空题1、设，（1）若不相容，则；（2）若相互独立，则。【解】（1）因为不相容，,（2）由相互独立知道，即，得.2、设，则事件全不发生的概率为。【解】3、设两两相互独立的事件满足：，且有，则。【解】由条件可知解得：(舍去)4、设事件满足，且，则。【解】由得,故.5、设为两个相互独立的随机事件，且都不发生的概率为，发生不发生的概率与不发生发生的概率相等，则.【解】由 又由得：，令，由，得，又，即，解得.二、选择题：1、设是两个随机事件，且，则 ； ； ； .【解】由条件可知，整理得.答案选C.2、设事件满足，且，则 事件对立；
2、 事件相互独立；事件不相互独立； 事件不相容。【解】由得再由条件概率公式可知，整理得.答案选B.三、解答题1、一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽取的是次品的的概率。【解】第一次取到正品第二次取到次品的概率为：；第一次取到次品第二次取到次品的概率为：；第二次抽取的是次品的的概率为：.2、设工厂与工厂的次品率分别为1%和2%，现从由和生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是生产的概率。【解】设事件：A=抽取的产品为A工厂生产的；事件：B=抽取的产品是B工厂生产的；事件：C=抽取的是次品；显然有根据全概率公式有
3、3、设事件在每次试验中的概率为，三次独立重复试验中事件至少出现一次的概率为，求事件发生的概率。【解】设三次试验中出现的次数为，则,因为所以.4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。【解】设事件A=甲命中目标，B=乙命中目标，C=目标被命中则有.第二章 一维随机变量及其分布例题选讲一、选择题1、设的密度为，分布函数为，下列结论正确的是 为某随机变量的分布函数；为某随机变量的密度函数；为某随机变量的分布函数；为某随机变量的密度函数。【解】因为为密度函数，所以，于是，故不满足密度函数的条件，故B错误.因为为分布函数，所以，于是，故不满足分布函
4、数的条件，所以不选C.显然满足分布函数的四个特征，所以D正确.可以举反例说明A不正确，如，则因为，所以不是密度函数.2、设随机变量的密度函数为偶函数，其分布函数为，则 为偶函数； ； 【解】由的单调不减性，可知A不对；所以D正确.3、设，令，则 对任意实数都有； 对任意实数都有；对个别，才有； 对任意实数，都有.【解】 所以正确答案是A.4、设，则随的增大，概率 单调增大； 单调减少； 保持不变； 增减不确定.【解】 所以正确答案是C.二、填空题1、.【解】无实根根据题意，2、.【解】得，于是.三、解答题1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球2个黑球，第3个盒子有2
5、个红球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以表示红球个数。（1）写处的分布律； （2）求红球个数不少于2个的概率。【解】（1）令=任取一盒为，则，随机变量可能的取值有. 则的分布律为： (2) 2、设离散型随机变量的分布函数为，求的分布律 -112 0.30.60.3【解】3、设的分布函数为 （1）求； （2）求密度函数； （3）求。【解】（1）因为为分布函数，所以，即；4、设，求随机变量的概率密度。【解】 当时，；当时， 当时，于是 故 5、设，且，求随机变量的概率密度。【解】因为,所以，于是当时，.当时，即 故 第三章 二维随机变量及其分布例题选讲一、选择题1、设相互独立的随机变量分
6、别服从及，则 ； ； 。【解】因为独立，所以，于是。二、填空题1、设为两个随机变量，且，则。【解】令，则三、解答题1、袋中有10个大小相同的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次抽取1个，定义如下两个随机变量：，就下列两种情况，求的联合分布律：（1）每次抽取后放回； （2）每次抽取后不放回。【解】（1） (2) 2、设的联合密度为，求（1）常数； （2）的分布函数； （3）的分布函数；（4）。【解】（1）由;（2） ， 所以 （3） 当时， 当时， 所以 （4） 3、设随机变量，求随机变量的分布函数。【解】 当时， 当时， 所以 4、设且独立。（1）设，求的密度函数。 （2），求的密度函
7、数。【解】(1) 因为，所以，由分布函数定义可知 所以 （2）因为，所以，由分布函数定义可知 当时，；当时，；于是，所以. 第四章 随机变量的数字特征例题选讲一、填空题1、设随机变量相互独立，且，则。【解】2、 随机变量，则。【解】因为，所以，且, 于是。3、设独立同分布，且都服从，则。【解】因为独立，则，令，则 ，又因为，所以4、 设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为，则。【解】由题意，得，于是5、 设随机变量的密度为，则。【解】因为，所以，于是6、 设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则。【解】由得，于是。再有得，即，故。二、解答题1、设，（1）求的联合分布律； （2
8、）。【解】因为，所以的分布函数为（1） 的可能取值为（2） 的分布律为，的分布律为，2、设，且，（1）求的联合分布律； （2）问是否相互独立？为什么？【解】（1）由，得，则所以YX-101001001（2）因为，所以不独立3、设，求（1）的联合分布律； （2）。【解】（1）的可能取值为（2）4、 试验成功的概率为，独立重复试验直到成功2次为止，以表示所需要进行的试验次数，求的概率分布与数学期望。【解】5、 设的密度函数为，对独立重复观察4次，表示观察值大于的次数，求。【解】依题意，所以，于是第五章 大数定律与中心极限定理例题选讲1、 设随机变量，用车比雪夫不等式估计。【解】由得，2、 设，且相
9、互独立，用车比雪夫不等式估计。【解】因为，且独立，则，所以第六章 数理统计基本概念例题选讲1、设是来自正态总体的简单样本，记，则服从自由度为的分布的统计量是（ B ）； ； ； 。【解】因为，所以，选择B2、 设是来自正态总体的简单样本，且服从分布，求及自由度。【解】设，则，即，所以。由分布的定义知所以，自由度为2.3、设总体独立同分布且都服从正态分布，与是分别来自总体的简单样本，求统计量所服从的分布。【解】因为是相互独立的正态变量，所以，标准化得又因为，且相互独立，所以，于是。因为与相互独立，由t分布的定义4、设是来自正态总体的简单样本，证明。【证明】设总体，则，且与独立，于是，标准化得，又
10、，因为都与独立，所以与独立，由t分布的定义，5、 设总体，从总体中抽取容量为的简单样本，问容量至少为多少时，才能使样本均值大于54的概率不小于。【解】因为，所以，而，又，所以即样本容量至少为16时，才能使样本均值大于54的概率不小于。第七章 参数估计例题选讲1、 设总体的密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，求参数的矩估计量和最大似然估计量。【解】（1）令，得的矩估计量。（2） 似然函数为，取对数得，由得，的最大似然估计量为2、 某元件使用寿命的密度为，其中为未知参数，设为来自总体的简单样本，求的最大似然估计量。【解】似然函数为，取对数得，因为，所以得为的增函数，当取最大时，最大，于是的最大似然估计值为，的最大似然估计值为。3、设总体的概率密度为，为来自总体的简单样本。（1）求的矩估计量； （2）求。【解】（1）令，得的矩估计量。（2） ，又，所以4、设总体的分布律为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，其观察值为，求的矩估计值与最大似然估计值。【解】（1）令，得的矩估计量。（3） 似然函数为，取对数得，由得，的最大似然估计值为17 / 17
