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1、习 题 四 解 答 1 设 01 0 1xx 写出 x f xe的一次插值多项式 1 L x 并估计插值误差 解 根据已知条件 有 x01 y1 1 e 设插值函数为 1 Lxaxb 由插值条件 建立线性方程组为 1 01 1 ab abe 解之得 1 1 1 ae b 则 1 1 1 1L xex 因为 xx y xeyxe 所以 插值余项为 1 2 2 01 1 1 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 n r xf xp xfx n fx fxxxx exx 所以 0101 0 1 maxmax 1 2 111 248 x r xex x e 2 给定函数表 i x 0 10 30 7
2、1 1 i f x 0 9950 9950 7650 454 选用合适的三次插值多项式来近似计算f 0 2 和 f 0 8 解 设三次插值多项式为 23 0123 f xaa xa xa x 由插值条件 建立方程组 为 23 0123 23 0123 23 0123 23 0123 0 1 0 1 0 1 0 995 0 30 30 30 995 0 70 70 70 765 1 11 11 10 454 aaaa aaaa aaaa aaaa 即 01230123 0123123 0123123 0123 0 10 010 0010 9950 10 010 0010 995 0 30 090
3、 0270 9950 40 080 0280 0 70 490 3430 7650 80 480 3441 76 1 11 211 3310 454 aaaaaaaa aaaaaaa aaaaaaa aaaa 123 0123 123 23 3 0 40 720 9880 311 0 10 010 0010 995 0 40 080 0280 0 320 2881 76 0 3843 831 aaa aaaa aaa aa a 解之得 0 1 2 3 0 41 6 29 3 48 9 98 a a a a 则所求的三次多项式为 23 0 416 293 489 98f xxxx 所以 23 2
4、3 0 2 0 416 29 0 23 48 0 29 98 0 20 91 0 8 0 41 6 290 83 48 0 89 98 0 81 74 f f 3 设 0 1 2 i x inL是 n 1 个互异节点 证明 1 0 0 1 2 n kk ii i x lxxknL 2 0 0 0 1 2 n k ii i xxlxknL 证明 1 由拉格朗日插值定理 以x0 x1 x2 x n为插值节点 对 y f x x k 作 n 次插值 插值多项式为 0 n nii i pxlx y 而 yi xik 所以 00 nn k niiii ii pxlx ylx x 同时 插值余项 1 1
5、11 0 1 1 n knk n r xxpxfxxx nn 所以 0 n kk ii i lx xx 结论得证 2 取函数 0 1 2 k f xxtknL 对此函数取节点 0 1 2 i x inL 则对应的插值多项式为 0 n k nii i pxxtlx 由余项公式 得 1 1 0 11 0 1 1 n n kknk ii i r xxtxtlxfxxtx nn 所以 0 n kk ii i xtxtlx 令 t x 0 0 n k ii i xx lx 4 给定数据 f xx x2 02 12 22 4 f x 1 4142141 4491381 483201 54919 1 试用线
6、性插值计算f 2 3 的近似值 并估计误差 2 试用二次 Newton 插值多项式计算 f 2 15 的近似值 并估计误差 解 用线性插值计算f 2 3 取插值节点为 2 2 和 2 4 则相应的线性插值多项式 是 1 549191 48320 1 48320 2 2 2 42 2 1 483200 32995 2 2 p xx x 用 x 2 3代入 得 2 3 1 483200 32995 2 32 2 1 450205f 2 作差商表如下 xf x 一阶差商二阶差商三阶差商 2 01 414214 0 3501 2 11 449138 0 047 0 34074 1075 2 21 48
7、3201 596 0 6599 2 41 54919 根据定理 2 f x f x0 f x0 x1 x x0 f x0 x1 x2 x x0 x x1 f x0 x1 xn x x0 x x1 x xn 1 f x0 x1 xn x x 以表中的上方一斜行中的数为系数 得 f 2 15 1 41421 0 3501 2 15 2 0 0 047 2 15 2 0 2 15 2 1 1 663725 指出 误差未讨论 5 给定函数表 x01245 y01646880 试求各阶差商 并写出牛顿插值多项式和插值余项 解 作差商表如下 xf x 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 00 16 1167
8、 30 5 2 246 3 7 6 21 25 3 488 109 3 88 50 根据定理 2 以表中的上方一斜行中的数为系数 得 57 0167 1 1 2 1 2 4 26 p xxx xx xxx xxx 指出 余项未讨论 5 给定函数表 x01234 y01646880 试求各阶差分 并求等距节点插值 解 由已知条件 显然 x0 0 h 1 x t 作差分如下 xf x 一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分 00 16 11614 30 2 24612 140 42 142 488 130 88 50 根据等距节点插值公式 0 1 1 2 1 2 3 01614 2 140 2 3 4
9、1 2 35 167 1 1 2 3 36 nn t tt ttt ttt pxthptt t tt tt tt ttt 指出 在本题这种情况下 实际上 nn ptpx 也就是说 在这样的条件下 t 的多项式就 是 x 的多项式 可以直接转换 一般情况下 把 t 的关系转换为 x 的关系需要根据 x x0 th 将 t 用 x 表示 即将 0 xx t h 代入得到的多项式 6 给定数据表 x0 1250 2500 3750 5000 6250 750 f x 0 796180 773340 743710 704130 656320 60228 试用三次牛顿差分插值公式计算f 0 1581 及
10、 f 0 636 解 所给节点是等距结点 00 0 125 0 125 0 1 2 3 4 5 i xhxxih i 计算差分得 xf x 一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分五阶差分 0 1250 79618 0 02284 0 2500 77334 0 00679 0 02963 0 00316 0 3750 74371 0 009950 00488 0 039580 00172 0 00460 0 5000 70413 0 008230 00028 0 047810 00200 0 6250 65632 0 00623 0 05404 0 7500 60228 令 0 0 xx xxth t
11、 h 根据等距结点插值公式 得 0 1 0 79618 0 02284 0 00679 2 1 2 1 2 3 1 2 3 4 0 00316 0 00488 0 00460 3 4 5 nn t t pxthp tt t ttt tttt tttt 则 0 1581 0 1581 0 1250 2648 0 790294822 0 636 0 6363 0 1254 088 0 651804826 nn nn fpph fpph 7 设 f x 在 4 4 有连续的 4 阶导数 且 1 1 0 2 0 0 3 1 3 1fffff 1 试构造一个次数最低的插值多项式p x 使其满足 1 1
12、1 0 0 2 0 0 0 3 3 1 3 3 1pfpfpfpfpf 2 给出并证明余项f x p x 的表达式 解 1 由 7 可以求出满足 0 0 2 0 0 0 3 3 1 3 3 1pfpfpfpf 的三次埃尔米特插值多项式 32 52 2 273 H xxx 设 223222 52 3 2 3 273 p xH xa xxxxa xx 则 p x 满足 0 0 2 0 0 0 3 3 1 3 3 1pfpfpfpf 由 1 1f得 3222521 1 1 2 13 1 1 273108 aa 所以 223222 432 521 3 2 3 273108 1133 2 108544
13、p xH xa xxxxxx xxx 2 余项具有如下结构 22 1 3 r xf xp xk xxxx 作辅助函数 22 1 3 tf tp tk x ttt 则显然 t在点 1 0 3x处有 6 个零点 其中 0 3 是二重零点 即 0 1 0 0 0 0 0 3 0 3 0 x 不妨假设 1 0 x 由罗尔定理 存在 123 1 0 0 3 xx 使得 123 0 0 0 再注意到 0 0 3 0 即 t有 5 个互异的零点 123 03 再次由罗尔定理得 存在 111223343 0 0 3 使得 1234 0 0 0 0 第三次应用罗尔定理得 存在 112223334 使得 123
14、0 0 0 第四次应用罗尔定理得 存在 112223 使得 4 4 12 0 0 第五次应用罗尔定理得 存在 12 使得 5 0 注意到 5 5 5 5 5 trtk xftk x r tf tp t中 p t 是 4 次函数 其 5 次导数为 0 所以 5 5 5 5 0 5 f fk xk x 代入余项表达式 有 5 22 1 3 5 f r xf xp xxxx 指出 本题是非标准插值问题 比较简单的求解方法有 求插值问题的基本方法是待定系数法 以本题来说 有 5 个条件 可以确定一 个 4 次的插值多项式 设为 233 01233 yaa xa xa xa x 将条件代入 建立一 个
15、5 元的线性方程组 求出各参数 就可以求出插值多项式 求插值问题的第二种方法是基函数法 即根据给定条件设定插值多项式的结构 和各基函数的结构 根据条件确定基函数即可 具体方法与拉格朗日插值基函数 构造和埃尔米特插值基函数构造相似 以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法 本题中 首先利用 4 个条件构 造一个埃尔米特插值 在此基础上设定所求插值多项式的一般形式 保证其满足 埃尔米特插值条件 代入未利用条件解方程 组 求出其中的未知参数 即可 求出插值多项式 本题也可以先利用 1 1 1 0 0 2 3 3 1pfpfpf构造一个2 次插值多项式 2 px 以此为基础构造 4 次插值多项式 4
16、px 4 px的结构是 42 1 3 pxpxaxb xx x 满足 1 1 1 0 0 2 3 3 1pfpfpf 再根据 0 0 0 3 3 1pfpf列出两个线性方程组成的方程组 求出 a b 两个参数 即可求出所求的插值多项式 求插值函数余项 r x的常用方法是 r xf xp x应具有如下形式 以本题为例 22 1 3 r xf xp xk xxxx 作辅助函数 22 1 3 tf tp tk x ttt 则 t在点 1 0 3x处有 6 个零点 其中 0 3 是二重零点 反复应用罗尔定理 直到至少有一个 4 4 使得 5 0 此时即有 5 5 5 5 0 5 f fk xk x 代入余项表达式即可求出 7 设 f x 在 4 4 有连续的 4 阶导数 且 0 2 0 0 3 1 3 1ffff 试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H x 使其满足 0 0 2 0 0 0 3 3 1 3 3 1pfpfpfpf 解一 待定系数法 解 设 23 0123 H xaa xa xa x 则 2 123 23Hxaa xa x 由插值条件得 0 1 0123 123 2 0 0 0
