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1、高等数学上册知识点 函数与极限 函数 函数定义及性质 有界性 单调性 奇偶性 周期性 反函数 复合函数 函数的运算 初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 双曲函数 反 双曲函数 函数的连续性与间断点 函数 xf 在0 x 连续 lim 0 0 xfxf xx 第一类 左右极限均存在 间断点可去间断点 跳跃间断点 第二类 左右极限 至少有一个不存在 无穷间断点 振荡间断点 闭区间上连续函数的性质 有界性与最大值最小值定理 零点定理 介值定理及其 推论 极限 定义 数列极限 axNnNax nn n 0lim 函数极限 AxfxxxAxf xx 0 0 0 lim 0 0 时
2、 当 左极限 lim 0 0 xfxf xx 右极限 lim 0 0 xfxf xx lim 00 0 xfxfAxf xx 存在 极限存在准则 夹逼准则 1 0 nnzxy nnn 2 azy n n n n limlimaxn n lim 单调有界准则 单调有界数列必有极限 无穷小 大 量 定义 若 0lim 则称为无穷小量 若 lim 则称为无穷大量 无穷小的阶 高阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 k阶无穷小 Th1 o Th2 limlimlim 存在 则 无穷小代换 求极限的方法 单调有界准则 夹逼准则 极限运算准则及函数连续性 两个重要极限 1 sin lim 0 x x x b
3、e x x x x x x 1 1 lim 1 lim 1 0 无穷小代换 0 x xxxxxarctan arcsin tan sin 2 2 1 cos1xx xe x 1 axa x ln 1 xx 1ln a x x a ln 1 log xx 1 1 导数与微分 导数 定义 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 左导数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 右导数 0 0 0 lim 0 xx xfxf xf xx 函数 xf在 0 x 点可导 00 xfxf 几何意义 0 xf 为曲线 xfy在点 00 xfx 处的切线的斜率 可导与连续的关系 求导的方
4、法 导数定义 基本公式 四则运算 复合函数求导 链式法则 隐函数求导数 参数方程求导 对数求导法 高阶导数 定义 dx dy dx d dx yd 2 2 Leibniz 公式 n k knkk n n vuCuv 0 微分 定义 00 xoxAxfxxfy 其中A与x无关 可微与可导的关系 可微可导 且dxxfxxfdy 00 微分中值定理与导数的应用 中值定理 Rolle 定理 若函数 xf满足 1 baCxf 2 baDxf 3 bfaf 则0 fba使 Lagrange中值定理 若函数 xf满足 1 baCxf 2 baDxf 则 abfafbfba使 Cauchy中值定理 若函数 x
5、Fxf满足 1 baCxFxf 2 baDxFxf 3 0 baxxF 则 F f aFbF afbf ba使 洛必达法则 Taylor 公式 单调性及极值 单调性判别法 baCxf baDxf 则若0 xf 则 xf单调 增加 则若0 xf 则 xf单调减少 极值及其判定定理 必要条件 xf在 0 x 可导 若 0 x 为 xf 的极值点 则0 0 xf 第一充分条件 xf在 0 x 的邻域内可导 且 0 0 xf 则 若当0 xx 时 0 xf 当 0 xx 时 0 xf 则 0 x 为极大值点 若当 0 xx 时 0 xf 当 0 xx时 0 xf 则 0 x为极小值点 若在 0 x的两
6、侧 xf不变号 则 0 x不 是极值点 第二充分条件 xf在 0 x 处二阶可导 且0 0 xf 0 0 xf 则 若 0 0 xf 则0 x 为极大值点 若 0 0 xf 则0 x 为极小值点 凹凸性及其判断 拐点 1 xf在区间 I 上连续 若 2 2 2121 21 xfxfxx fIxx 则称 xf在区 间 I 上的图形是凹的 若 2 2 2121 21 xfxfxx fIxx 则称 xf在区间 I 上的图形是凸的 2 判定定理 xf在 ba上连续 在 ba上有一阶 二阶导数 则 a 若0 xfbax 则 xf在 ba上的图形是凹的 b 若0 xfbax 则 xf在 ba上的图形是凸的
7、 3 拐点 设 xfy在区间 I 上连续 0 x 是 xf的内点 如果曲线 xfy经过点 00 xfx时 曲线的凹凸性改变了 则称点 00 xfx为曲线的拐点 不等式证明 利用微分中值定理 利用函数单调性 利用极值 最值 方程根的讨论 连续函数的介值定理 Rolle 定理 函数的单调性 极值 最值 凹凸性 渐近线 铅直渐近线 limxf ax 则ax为一条铅直渐近线 水平渐近线 bxf x lim 则by为一条水平渐近线 斜渐近线 k x xf x limbkxxf x lim 存在 则bkxy为一条斜 渐近线 图形描绘 不定积分 概念和性质 原函数 在区间I 上 若函数 xF可导 且 xfx
8、F 则 xF称为 xf的 一个原函数 不定积分 在区间 I 上 函数 xf的带有任意常数的原函数称为 xf在区间 I 上的 不定积分 基本积分表 P188 13 个公式 性质 线性性 换元积分法 第一类换元法 凑微分 d xuduufxxxf 第二类换元法 变量代换 1 d xt tttfdxxf 分部积分法 vduuvudv 有理函数积分 1 拆 2 变量代换 三角代换 倒代换 根式代换等 定积分 概念与性质 定义 n i ii b a xfdxxf 1 0 lim 性质 7 条 性质7 积分中值定理 函数 xf在区间 ba上连续 则 ba 使 abfdxxf b a 平均值 ab dxxf
9、 f b a 微积分基本公式 N L 公式 变上限积分 设 x a dttfx 则 xfx 推广 xxfxxfdttf dx d x x N L公式 若 xF为 xf的一个原函数 则 aFbFdxxf b a 换元法和分部积分 换元法 tttfdxxf b a d 分部积分法 b a b a b a vduuvudv 反常积分 无穷积分 t ata dxxfdxxf lim b tt b dxxfdxxf lim 0 0 dxxfdxxfdxxf 瑕积分 b t at b a dxxfdxxf lim a 为瑕点 t a bt b a dxxfdxxf lim b 为瑕点 两个重要的反常积分
10、1 1 1 1 d 1 p p a p x x p a p 2 1 1 1 d d 1 q q q ab xb x ax x q b a q b a q 定积分的应用 平面图形的面积 直角坐标 b a dxxfxfA 12 极坐标 dA 2 1 2 1 2 2 体积 旋转体体积 a 曲边梯形 xbxaxxfy 轴 绕x轴旋转而成的旋转体的体积 b a x dxxfV 2 b 曲边梯形 xbxaxxfy 轴 绕y轴旋转而成的旋转体的体积 b a y dxxxfV 2 柱壳法 平行截面面积已知的立体 b a dxxAV 弧长 直角坐标 b a dxxfs 2 1 参数方程 dttts 22 极坐标
11、 ds 22 微分方程 概念 微分方程 表示未知函数 未知函数的导数及自变量之间关系的方程 阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 解 使微分方程成为恒等式的函数 通解 方程的解中含有任意的常数 且常数的个数与微分方程的阶数相同 特解 确定了通解中的任意常数后得到的解 变量可分离的方程 dxxfdyyg 两边积分dxxfdyyg 齐次型方程 x y dx dy 设 x y u 则 dx du xu dx dy 或 y x dy dx 设 y x v 则 dy dv yv dy dx 一阶线性微分方程 xQyxP dx dy 用常数变易法或用公式 CdxexQey dxxPdxxP 可
12、降阶的高阶微分方程 1 xfy n 两边积分 n次 2 yxfy 不显含有y 令py 则py 3 yyfy 不显含有x 令py 则 dy dp py 线性微分方程解的结构 1 21 y y是齐次线性方程的解 则 2211 yCyC也是 2 21 y y是齐次线性方程的线性无关的特解 则 2211 yCyC是方程的通解 3 2211 yyCyCy为非齐次方程的通解 其中 21 y y为对应齐次方程的线性 无关的解 y非齐次方程的特解 常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 0qyypy 特征方程 0 2 qprr 特征根 21 r r 特征根通解 实根21 rr xrxr eCeCy 21 21 221 p rr xr exCCy 1 21 ir 21 sincos 21 xCxCey x 常系数非齐次线性微分方程 xfqyypy 1 xPexf m x 设特解 xQexy m xk 其中 是重根 是一个单根 不是特征根 k 2 1 0 2 xxPxxPexf nl x sin cos 设特解 xxRxxRexy mm xk sin cos 2 1 其中 max nlm 是特征根 不是特征根 i i k 1 0
