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1、习题 7 2 可分离变量的微分方程 1 求下列微分方程的通解 1 22 11yyx 解 原方程为 22 11 dy xy dx 分离变量得 22 11 dydx yx 两端积分得 arcsinarcsinyxC C 为任意常数 即为原方程的通解 2 0tansectansec 22 xdyyydxx 解 将原方程分离变量 得 22 secsec tantan yx dydx yx 两端积分得ln tanln tanlnyxC或ln tan tanlnxyC 故原方程的通解为tantanxyC C为任意常数 2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 1 eyyyxy x 2 lnsin 解 将原
2、方程分离变量 得 lnsin dydx yyx 两端积分得 tan ln 2 ln tan 2 x d dy x y 即ln lnln tanln 2 x yC 故原方程的通解为 lntan 2 x yC 代入初始条件 2 xye 得1C 于是 所求之特解为 tan 2 x ye 2 1 02 2x yydxxdy 解 将原方程分离变量 得2 dydx yx 两端积分得2 dydx yx 即ln 2lnlnyxC 故原方程的通解为 2 x yC 代入初始条件2 1xy 得4C 于是 所求之特解为 2 4x y 3 一曲线通过点 2 3 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分 求这曲线方程
3、解 设曲线方程为 切点为 由条件 切线在x 轴与 y 轴上的截距分别为2x 与 2y 于是切线的斜率 20 02 yy y xx 分离变量得 dydx yx 积分得lnlnlnyxC 即xyC 代入初始条件 2 3 x y 得6C 故曲线方程为6xy 习 题 7 3 齐次方程 1 求下列齐次方程的通解 1 0 22 xyyyx 解 a 当0 x时 可 将 方 程 改 写 成 2 1 yy y xx 令 y u x 即yxu 所 以 有 yuxu 则原方程成为 2 1uxuuu 分离变量 得 2 1 dudx x u 两边积分得 2 ln1lnlnuuxC 即 2 1uuCx 将 y u x 代
4、入上式整理 得通解为 222 yyxCx b 当 0 x 时 方 程 两 边 同 除 以x 则 原 方 程 可 改 写 成 22 0 yxy y xx 即 2 22 2 10 yxyyy yy xxx x 因 为0 x时 2 xxx 也 就 是 2 1 yy y xx 与 x 0 的情况一样 所以 对任意的0 x 方程的通解为 222 yyxCx C 为任意常数 注 如果C 0 则由原方程知 0 xy 即0 x或yA 若0 x 则原方程变为 2 0yy 只有当0y时成立 若yA A 为常数 则原方程变成 22 0AAx 当 A 0 时方程有解 2 0cos3 cos3sin2 dy x y x
5、dx x y y x y x 解 原方程可改写成 2 tan0 3 yydy xxdx 令 y u x 即yxu 所以有yuxu 则原方程 成为 2 tan 3 du uxuu dx 分离变量 得 3 2 tan dudx ux 两边积分得 3 ln sinlnln 2 uxC 即 32 sin uCx 将 y u x 代入上式 得通解为 32 sin y Cx x C 为任意常数 2 求齐次方程1 02 3 0 22 x yxydxdyxy满足所给初始条件的特解 解 原方程可写成 2 1320 xx dx yy dy 令 x u y 即xyu 有 dxdu uy dydy 所以原方程 成为
6、2 1320 du uu uy dy 分离变量 得 2 2 1 udy du uy 积分得 2 ln1lnlnuyC 即 2 1uCy 代入 x u y 并整理 得通解为 223 xyCy 由初始条件0 1xy 得 1C 于是所求特解为 322 yyx 习 题 7 4 一阶线性微分方程 1 求下列微分方程的通解 1 x ey dx dy 2 0cos2 1 2 xxyyx 3 0 ln lndyyxydxy 解 1 由通解公式得 原一阶线性微分方程的通解为 dxdx xxxxx yeeedxCeee dxCexC 2 将原方程改写成 22 2cos 11 xx yy xx 由通解公式得 原一阶
7、线性微分方程的通解为 22 22 2 11 2222 cos1cossin 1 1111 xx dxdx xx xxxC yeedxCxdxC xxxx C 为 任意常数 3 将原方程改写成 11 ln dx x dyyyy 由一阶线性微分方程的通解公式得 通解为 ln lnln lnlnln 11 11 dydy yyyyyy xeedyCeedyC yy 2 11 1ln11 ln lnln2 y dyCyC yyy 即 2 1 2 lnln2xyyCCC C 为任意常数 注 ln ln1 ln y e y 当ln0y时 去掉绝对值即得上述解答过程 而当ln0y时 则 ln lnln ln
8、 11 11ln1ln1ln lnlnln yyyyy eedy Cdy Cdy Cdy C yyyyyyy 与 上述结果一样 2 求微分方程0 sectan 0 x yxxy dx dy 满足所给初始条件的特解 解 由一阶线性微分方程的通解公式得 通解为 tantan ln cosln cos secsec xdxxdx xx yexedxCexedxC 1 sec cos coscos xC xxdxC xx 代入初始条件x 0 y 0 得 C 0 故所求特解为 cos x y x 3 求一曲线的方程 这曲线通过原点 并且它在点 yx处的切线斜率等于yx2 解 设曲线方程为yy x 由题目
9、条件得2yxy 即 0 2 0 x yyx y 由一阶线性微分方程 的通解公式得 22 dxdx xx yexedxCexedxC 2222 xxxx exeeCxCe 由初始条件0 0 xy得2C 故所求曲线的方程为 21 x yex 4 用适当的变量代换将微分方程 2 yx dx dy 化为可分离变量的方程 然后求出通解 解 令u xy 则1 dudy dxdx 且原方程变为 2 1 du u dx 分离变量得 2 1 du dx u 两边积分得 arctanuxC 即tanuxC 代入u xy 得原方程的通解为tanyxxC C 为任意常数 习 题 7 4 可降阶的高阶微分方程 1 求下
10、列微分方程的通解 1 2 1 1 x y 解 12 arctan 1 dx yxC x 112 arctanarctan 1 x yxCdxxxdxC x x 2 12 1 arctanln 1 2 xxxC xC C1 C2为任意常数 2 0yyx 解 令y p x 则yp 且原方程化为0 xpp 分离变量 得 dpdx px 两边积分得 1 1 lnlnlnpC x 即 1 C p x 也就是 1 C dydx x 两边再积分 得原方程的通解为 1 12 ln C ydxCxC x C1 C2为任意常数 3 02 2 yyy 解 令yp y 则 dpdp dydp yp dxdy dxdy
11、 且原方程化为 2 20 dp ypp dy 当0p时 有2 dp yp dy 分离变量 得2 dpdy py 两边积分得 0 2 1 lnlnlnpC y 即 0 2 C yp y 即 2 0 y dyC dx 两边积分得 3 02 3yC xC 所以原方程的通解为 3 1210 3yC xCCC C1 C2为任意常 数 注 如果p 0 则 y 为常数函数 也是原方程的解 2 求微分方程1 0 0 00 2 xx yyyay满足所给初始条件的特解 解 令yp 则 dp yp dx 且原方程化为 2 0pap 分离变量 得 2 dp adx p 两 边积分得 1 1 axC p 代入初始条件0
12、 1xpy 得 1 1C 从而有 1 1ax y 即 1 1 y ax 两边再积分得 2 1 ln1yaxC a 代入初始条件 0 0 x y 得 2 0C 故所求特解为 1 ln1yax a 3 试求xy的经过点 1 0 M且在此点与直线1 2 x y相切的积分曲线 解 因为直线 1 2 x y在 0 1 处的切线斜率为 1 2 由题目条件知 所求积分曲线是初值问 题 00 1 1 2 xx yx yy 的 解 对yx两 边 积 分 得 2 1 2 x yC 代 入 初 始 条 件 1 0 2 xy 得 1 1 2 C 从而有 2 1 22 x y 两边再积分得 3 2 62 xx yC 代
13、入初始条件 0 1 x y 得 2 1C 故所求积分曲线的方程 为 3 1 62 xx y 习 题 7 6 常系数齐次线性微分方程 1 求下列微分方程的通解 1 02yyy 2 0yy 3 025204 2 2 x dt dx dt xd 4 0 4 yy 解 1 特 征 方 程 为 2 20rr 特征 根为 12 1 2rr 故方程的通解为 2 12 xx yC eC e 12 C C为任意常数 2 特征方程为 2 10r 特征根为 12 ri ri 故方程的通解为 12 cossinyCxCx 12 C C为任意常数 3 特征方程为 2 420250rr 特征根为 1 2 5 2 r 故方
14、程的通解为 5 2 12 t yCC t e 12 C C为任意常数 4 特征方程为 4 10r 即 22 110rr 所以特征根为 1 23 4 1 rri 故方程的通 解为 1234 cossin xx yC eC eCxCx 1234 C CC C为任意常数 2 求微分方程0 2 044 00 xx yyyyy满足所给初始条件的特解 解 解特征方程 2 4410rr 得特征根为 1 2 1 2 r 故方程的通解为 2 12 x yCC x e 且有 12 2 2 22 x CC yCx e 代入初始条件 1 1 2 2 0 2 C C C 解 得 1 2 2 1 C C 故所求的特解为
15、2 2 x yx e 习 题 7 6 常系数非齐次线性微分方程 1 求下列微分方程的通解 1 x eyyy22 解特 征 方 程 为 2 210rr 特 征 根 为 12 1 1 2 rr 故 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 为 2 12 x x YC eC e 又2 1 x fxe不 是 特 征 方 程 的 根 令 x yae是 原 方 程 的 一 个 特 解 代入原方程得 22 xxxx aeaeaee 消去 x e 可得1a 即 x ye 所以原方程的通解为 2 12 x xx yYyC eC ee 12 C C为任意常数 2 12552 2 xxyy 解特 征 方 程 为 2
16、250rr 特 征 根 为 12 5 0 2 rr 故 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 为 5 2 12 x YCC e 又 2 521 0fxxx是特征方程的单根 设 2 yx axbxc是原方程的一个特 解 代 入 原 方 程 并 整 理 得 22 15121045521axab xbcxx 比 较 系 数 得 137 3525 abc 即 32 137 3525 yxxx 所以原方程的通解为 5 32 2 12 137 3525 x yYyCC exxx 12 C C为任意常数 3 xeyyy x 2sin52 解 对应齐次方程的特征方程为 2 250rr 解得1 212ri 故对应的齐次方程的通解 为 12 cos2sin2 x YeCxCx 因 2 sin20 cos2sin2 12 x f xexxCxii是特征方程的单根 故可设 cos2sin2 x yxeaxbx 是原方程的一个特解 代入方程并消去 x e得4 cos24 sin2sin2bxaxx 比较系数 得 1 0 4 ab 即 11 cos2cos2 44 xx yxexxex 故原方程的通解为 12
