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1、高中数学活题巧解方法 一、代入法1二、直接法2三、定义法3四、向量坐标法4五、查字典法5六、挡板模型法6七、等差中项法7八、逆向化法7九、极限化法8十、整体化法9十一、参数法10十二、交轨法11十三、几何法13十四、弦中点轨迹法14十五、比较法15十六、基本不等式法17十七、综合法18十八、分析法18十九、放缩法19二十、反证法21二十一、换元法22第十一章 不等式24高中数学活题巧解方法一、代入法若动点依赖于另一动点而运动，而点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式，于是将这个点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法
2、。【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线：与直线：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；【巧解】联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.【例2】（2008年，江西卷）设 在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点M。 过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程。【巧解】设，由已知得到，且，（1）垂线的方程为：，由得垂足，
3、设重心所以 解得 由 可得 即为重心所在曲线方程巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求APB的重心G的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求点M的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的
4、高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点。若，则C的离心率为（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】设，由，得，设过点斜率为的直线方程为，由消去得：， ， 将 代入得化简得 ，化简得：，即。故本题选（A）【例2】（2008年，四川卷）设定义在上的函数满足，若，则（ ）（A）13（B）2（C）（D）【巧解】，函数为周期函数，且，故选（C）巧练一：（2008年，湖北卷）
5、若上是减函数，则b的取值范围是（ ）ABCD巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）ABCD 三、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线径、准线、离心定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则 【巧解】依题意直线的方程为，由消去得：，设，根据抛物线的定义。，故本题应
6、填2。【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由题意椭圆的半焦距为，双曲线上的点满足点的轨迹是双曲线，其中，故双曲线方程为，选（A）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）（
7、A）（B）3（C）（D）四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若=a，=b，则=（ ）AxyOBDCEAa +b Ba +b Ca +b Da +b【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形则，直线的方程为，联立得，设，则解之得，故本题选B【例2】已知点为内一点，且0
8、，则、的面积之比等于（ ）A9：4：1 B1：4：9 C3：2：1D1：2：3ABCxyO【巧解】不妨设为等腰三角形，建立如图所示的直角坐标系，则点，设，0，即解之得，即，又直线的方程为，则点到直线的距离，因此，故选C巧练一：（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且（ ）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直巧练二：设是内部一点，且，则与面积之比是 .五、查字典法查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。利用“查字典法”解决数字
9、比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全而出错。【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个【巧解】本题只需查首位，可分3种情况， 个位为0，即 型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为； 个位为2，即， 此
10、种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为；个位为4， 型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为；故共有个。故选（B）【例2】（2004年全国II卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）A56个B57个C58个D60个【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：即型，此特点只需其它数进行全排列即可。有种，（2）查前位：只考虑前“”位中比既大又小的数，有4种情况：，型，而每种情况均有种满足条件，故共有种。（3）查前位：只考虑前“3”位中既比大又小于5的数，有4种
11、情况：，型，而每种情况均有种满足条件，故共有种。（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有 23154和43512两种情况满足条件。故共有个，故选C 巧练一：用数字可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（ ）A110种B109种C108种D107种巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有（ ）（A）48个（B）36个（C）24个（D）18个六、挡板模型法挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分
12、类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（ ）A8种B10种C12种D16种【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种. 故选B【例2】两个实数集，若从A到B的映射使得B中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有（ ）个ABCD【巧解】不妨设两个集合中的数都是从小到大排列，将集合的50个数视为50个相同的小球排成一排为：，然后在50个小球的4
13、9个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件对应方法，故共有不同映射共有种. 故选B巧练一：两个实数集合A=a1, a2, a3, a15与B=b1, b2, b3, b10，若从A到B的是映射f使B中的每一个元素都有原象，且f(a1)f(a2) f(a10)f(a11)f(a15), 则这样的映射共有（ ）A个B个C1015个D巧练二：10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（ ）种A24B84C120D96七、等差中项法等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。【例1】（2008年，浙江卷）已知，则（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】根据特征，可得成等差数列，为与的等差中项。可设，其中；则，又，故，由选项知应选（C）【例2】（2008年，重庆卷）已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值为（ ）（A）（B）（C）（D）【巧解】由可得，为与的等差中项，令，其中，则，即，又，则，故，解之得，即，故选（C）巧练：（2008年，江苏卷）的最小值 .八、逆向化法逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题
