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1、 1 9 3曲面及其方程 2 定义1 如果曲面S与方程F x y z 0有下述关系 1 曲面S上的任意点的坐标都满足此方程 则F x y z 0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F x y z 0的图形 两个基本问题 已知动点按照某种规律运动 求运动 2 坐标满足方程的点都在曲面S上 轨迹所产生的曲面方程 2 已知方程时 研究它所表示的几何图形 必要时需作图 机动目录上页下页返回结束 3 故所求方程为 例1 求动点到定点 方程 特别 当M0在原点时 球面方程为 解 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为R的轨迹 表示上 下 球面 机动目录上页下页返回结束 一 球面及其方程 4 例2 研究方程 解 配
2、方得 此方程表示 说明 如下形式的三元二次方程 A 0 都可通过配方研究它的图形 其图形可能是 的曲面 表示怎样 半径为 的球面 球心为 一个球面 或点 或虚轨迹 机动目录上页下页返回结束 5 二 柱面 引例 分析方程 表示怎样的曲面 的坐标也满足方程 解 在xoy面上 表示圆C 沿曲线C平行于z轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面 对任意z 平行z轴的直线l 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程 机动目录上页下页返回结束 6 定义2 平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成 的轨迹叫做柱面 表示抛物柱面 母线平行于z轴 准线为xoy面上的抛物线 z轴的
3、椭圆柱面 z轴的平面 表示母线平行于 且z轴在平面上 表示母线平行于 C叫做准线 l叫做母线 机动目录上页下页返回结束 7 一般地 在三维空间 柱面 柱面 平行于x轴 平行于y轴 平行于z轴 准线xoz面上的曲线l3 母线 柱面 准线xoy面上的曲线l1 母线 准线yoz面上的曲线l2 母线 机动目录上页下页返回结束 8 定义3 一条平面曲线 三 旋转面 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转面 该定直线称为旋转 轴 曲线成为旋转面的母线 例如 机动目录上页下页返回结束 9 建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程 故旋转曲面方程为 当绕z轴旋转时 若点 给定yoz面上曲线C
4、 则有 则有 该点转到 机动目录上页下页返回结束 10 思考 当曲线C绕y轴旋转时 方程如何 机动目录上页下页返回结束 11 例3 试建立顶点在原点 旋转轴为z轴 半顶角为 的圆锥面方程 解 在yoz面上直线L的方程为 绕z轴旋转时 圆锥面的方程为 两边平方 机动目录上页下页返回结束 12 例4 求坐标面xoz上的双曲线 分别绕x 轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 解 绕x轴旋转 绕z轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面 所成曲面方程为 所成曲面方程为 机动目录上页下页返回结束 13 总结 1 面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程均为 2 面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋
5、转面方程均为 3 面上的曲线和面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转面方程均为 14 四 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 机动目录上页下页返回结束 15 又如 方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C 机动目录上页下页返回结束 16 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xoy面上的投影曲线C 为 消去x得C在yoz面上的投影曲线方程 消去y得C在zox面上的投影曲线方程 机动目录上页下页返回结束 17 例如 在xoy面上的投影曲线方程为 机动目录上页下页返回结束 18 又如 所围的立体在xo
6、y面上的投影区域为 上半球面 和锥面 在xoy面上的投影曲线 二者交线 所围圆域 二者交线在 xoy面上的投影曲线所围之域 机动目录上页下页返回结束 19 9 4二次曲面 20 二次曲面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 研究二次曲面特性的基本方法 截痕法 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 机动目录上页下页返回结束 21 1 椭球面 1 范围 2 与坐标面的交线 椭圆 机动目录上页下页返回结束 22 与 的交线为椭圆 4 当a b时为旋转椭球面 同样 的截痕 及 也为椭圆 当a b c
7、时为球面 3 截痕 机动目录上页下页返回结束 23 2 椭圆锥面 二次锥面 椭圆 在平面x 0或y 0上的截痕为过原点的两直线 机动目录上页下页返回结束 24 3 双曲面 1 单叶双曲面 椭圆 时 截痕为 实轴平行于x轴 虚轴平行于z轴 平面 上的截痕情况 机动目录上页下页返回结束 双曲线 25 虚轴平行于x轴 时 截痕为 时 截痕为 实轴平行于z轴 机动目录上页下页返回结束 相交直线 双曲线 26 2 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 P18目录上页下页返回结束 图形 27 4 抛物面 1 椭圆抛物面 p q同号 2 双曲抛物面 鞍形曲面 特别 当p q时为绕z轴的旋转抛物面 p q同号 机动目录上页下页返回结束 28 总结 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 机动目录上页下页返回结束 29 5 化简二次方程判断曲面类型 设三元二次方程的一般形式为 令 因为A是实对称矩阵 所以存在正交阵Q 使得 作正交变换u Qv 则 30 即 其中 例 化下面方程为标准方程 并指出它是何种曲面 解 将方程写为矩阵形式 其中 31 作正交变换u Qv 则可得到 单叶双曲面
