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1、2013级暑假培优暨竞赛辅导（6）编辑：鄢军华1、设集合，其中符号表示不大于x的最大整数，则 2、设锐角使关于x的方程有重根，则的弧度数为 3、设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 4、使关于的不等式有解的实数k的最大值是 5、已知是定义在上的减函数，若成立，则的取值范围是 6、设，则的值域是 7、已知x，y都在区间(2，2)内，且xy1，则函数的最小值是 8、正整数集合的最小元素为，最大元素为，并且各元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列，则并集中的元素个数为 9、将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，则 10、设函数，且对任意，则=_11、已知函数f(x)(1)
2、是否存在实数a、b(ab)，使得函数f(x)的定义域和值域都是a、b？若存在，请求出a、b的值；若不存在，请说明理由(2)若存在实数a、b，使得函数f(x)的定义域是a、b，值域是ma、mb( m0)，求实数m的取值范围12、已知不等式对于恒成立，求的取值范围13、对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即.(1). 求证：AB(2).若，且，求实数a的取值范围.14、ABCD是圆内接四边形，点M是CD的中点，对角线AC和BD相交于点P，过点P且与CD相切于点M的圆与AC和BD分
3、别相交于点R和Q，点S在线段BD上，使得BS=DQ，过点S且与AB平行的直线交AC于点T，求证：AT=RC.答案：1、解 ，的值可取当x=，则无解； 当x=，则，x=；当x=0，则无解； 当x=1，则，所以2、解：因方程有重根，故 得，于是3、3解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则由（1）（2）得，即共线，且4、解：令，则实数k的最大值为5、或解：在上定义，又 仅当或时，在上是减函数，结合（）知或6、。令，则。因此。 即得7、解：由已知得，故，而，故当时有最小值8、解：用表示集的元素个数，设，由，得，于是，；从而9、； 解：简称这种数为“好数”，则一位好数有个；两位好数有个；三位好数
4、有个；，位好数有个；，记，因，即第个好数为第个六位好数；而六位好数中，首位为的共有个，前两位为的各有个，因此第个好数的前两位数为，且是前两位数为的第个数；而前三位为的各个，则的前三位为，且是前三位数为的第个数；而前四位为的各个，则的前四位为，且是前四位数为的第个数；则的前五位为，且是前五位数为的第个数，则10、解：= 即。11、解：(1)不存在实数a、b 满足条件事实上，若存在实数a、b 满足条件，则有xa0故f(x)(i)当a、b(0，1)时，f(x)在(0，1)上为减函数，所以即由此推得ab，与已知矛盾，故此时不存在实数a、b(ab)满足条件(ii)当a、b1，)时，f(x)在1，+)上为
5、增函数，所以即于是a、b为方程x2x10的实根而此时方程无实根，故此时也不存在实数a、b(ab)满足条件(iii)当a(0，1)，b1，)时，显然1a，b，而f(1)0，所以0a，b，矛盾综上可知，不存在实数a、b(ab)满足条件(2)若存在实数a、b(ab)满足f(x)定义域是a、b，值域是ma、mb(m0)，易得m0，a0仿(1)知，当a、b(0，1)或a(0，1)，b1，)时，满足条件的实数a、b不存在只有当a、b1，)时，f(x)在1，)上为增函数，有即于是a、b为方程mx2x10的两个大于1的实根只须解得0m，所以m的取值范围为0m12、解：设，则从而原不等式可化为：即， 原不等式等
6、价于不等式（1）（1）不等式恒成立等价于恒成立。从而只要。又容易知道在上递减，。所以13、证明(1).若A=，则AB 显然成立；若A，设tA，则f(t)=t,f(f(t)=f(t)=t,即tB,从而 AB. 解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即的实根. 由 A，知 a=0 或 即 B中元素是方程 即 的实根由AB，知上方程左边含有一个因式，即方程可化为 因此，要A=B，即要方程 要么没有实根，要么实根是方程 的根.若没有实根，则，由此解得 若有实根且的实根是的实根，则由有 ，代入有 2ax+1=0.由此解得 ,再代入得 由此解得 .故 a的取值范围是 14、证明：由切割线定理得CRCP=CM2，DQDP=DM2因为M是CD的中点，CM=DM，BS=DQ，所以CRCP=CM2=DM2=DQDP=BSDP，所以因为APBDPC所以，又STAB，所以所以故AT=RC.9
