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1、1 输出 S K K 1 a a S S a K 是 否 输入 a S 0 K 1 结束 K 6 开始 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国 2 卷 一 选择题 本题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 3 1 i i A 12iB 12iC 2iD 2i 2 设集合1 2 4 2 40 x xxm 若1 则 A 1 3B 1 0C 1 3D 1 5 3 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7 层塔共挂了381 盏灯 且相邻两层中的
2、下一层灯数是上一层灯数的2 倍 则塔的顶层共有灯 A 1 盏B 3 盏C 5 盏D 9 盏 4 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某几何体的三视图 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得 则该几何体的体积为 A 90B 63C 42D 36 5 设x y满足约束条件 2330 2330 30 xy xy y 则2zxy的最小值是 A 15B 9C 1D 9 6 安排 3 名志愿者完成4 项工作 每人至少完成1 项 每项工作由1 人完成 则不同的安排方式共有 A 12 种B 18 种C 24 种D 36 种 7 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四
3、人中 有 2 位优秀 2 位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的 成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则 A 乙可以知道四人的成绩B 丁可以知道四人的成绩 C 乙 丁可以知道对方的成绩D 乙 丁可以知道自己的成绩 8 执行右面的程序框图 如果输入的1a 则输出的S A 2 B 3 C 4 D 5 9 若双曲线C 22 22 1 xy ab 0a 0b 的一条渐近线被圆 2 2 24xy所截 得的弦长为2 则C的离心率为 A 2 B 3C 2D 2 3 3 10 已知直三棱柱 111 CC中 C120 2 1 CCC1 则异 面直线 1与1 C所成角的
4、余弦值为 2 A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 11 若2x是函数 21 1 x f xxaxe的极值点 则 f x的极小值为 A 1B 3 2eC 3 5eD 1 12 已知ABC是边长为2 的等边三角形 P为平面 ABC内一点 则 PAPBPC的最小值是 A 2B 3 2 C 4 3 D 1 二 填空题 本题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 一批产品的二等品率为0 02 从这批产品中每次随机取一件 有放回地抽取100次 表示抽到的二 等品件数 则D 14 函数 2 3 sin3 cos 4 fxxx 0 2 x 的最大值是 15 等差数列 n a的前n项和为
5、n S 3 3a 4 10S 则 1 1 n kk S 16 已知F是抛物线C 2 8yx的焦点 是C上一点 F的延长线交y轴于点 若为F的中 点 则F 三 解答题 共70 分 解答应写出文字说明 解答过程或演算步骤 第17 21 题为必做题 每个试题考 生都必须作答 第22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共60 分 17 12 分 ABC的内角 A B C的对边分别为 a b c 已知 2 sin 8sin 2 B AC 1 求cos B 2 若6ac ABC面积为 2 求 b 18 12 分 淡水养殖场进行某水产品的新 旧网箱养殖方法的产量对比 收获时各随机抽取了100
6、个网 箱 测量各箱水产品的产量 单位 kg 其频率分布直方图如下 旧养殖法 0 020 0 032 0 040 0 034 0 024 0 014 0 012 频率 组距 箱产量 kg 30354045505560657025 O 0 008 0 010 0 046 0 068 0 044 0 020 0 004 频率 组距 箱产量 kg 4045505560657035 新养殖法 O 3 1 设两种养殖方法的箱产量相互独立 记A 表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg 新养殖法 的箱产量不低于50kg 估计 A 的概率 2 填写下面列联表 并根据列联表判断是否有99 的把握认为箱产量与养殖方
7、法有关 箱产量 50kg 箱产量 50kg 旧养殖法 新养殖法 3 根据箱产量的频率分布直方图 求新养殖法箱产量的中位数的估计值 精确到0 01 P 0 050 0 010 0 001 k 3 841 6 635 10 828 2 2 n adbc K ab cdac bd 19 12 分 如图 四棱锥 P ABCD中 侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD o 1 90 2 ABBCADBADABCE是PD的中点 1 证明 直线 CE平面PAB 2 点M在棱PC 上 且直线BM与底面ABCD所成角为 o 45 求二面角M AB D的余弦值 E A B D P C M 4 20 12 分
8、设 O 为坐标原点 动点M 在椭圆 C 2 2 1 2 x y上 过 M 做 x 轴的垂线 垂足为N 点 P满 足2NPNM 1 求点P的轨迹方程 2 设点Q在直线x 3 上 且1OP PQ 证明 过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F 21 12 分 已知函数 2 ln f xaxaxxx且 0f x 1 求 a 2 证明 fx存在唯一的极大值点 0 x 且 22 0 2ef x 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy 中 以坐标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐
9、标系 曲线 1 C的极坐标方程为 cos4 1 M 为曲线 1 C上的动点 点P在线段 OM 上 且满足 16OMOP 求点 P的轨迹 2 C的直角坐标 方程 2 设点 A 的极坐标为 2 3 点 B 在曲线 2 C上 求OAB面积的最大值 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 33 0 0 2abab 证明 1 55 4ab ab 2 2ab 5 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 试题答案 一 选择题 1 D 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 D 8 B 9 A 10 C 11 A 12 B 二 填空题 13 1 96 14 1 15 2n 1n 16
10、6 三 解答题 17 解 1 由题设及 2 sin8sin 2 ABCB得 故 sin4 cosBB 1 上式两边平方 整理得 2 17cos B 32cosB 15 0 解得 15 cosB cosB 17 1 舍去 2 由 158 cosBsin B 1717 得 故 14 a sin 217 ABC ScBac 又 17 2 2 ABC Sac 则 由余弦定理及a6c得 222 2 b2cos a2 1 cosB 1715 362 1 217 4 acacB ac c 所以 b 2 18 解 1 记 B表示事件 旧养殖法的箱产量低于50kg C表示事件 新养殖法的箱产量不低于50kg 由
11、题意知P AP BCP B P C 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 0 0400 0340 0240 0140 0125 0 62 故P B的估计值为0 62 新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 6 0 0680 0460 0100 0085 0 66 故P C的估计值为0 66 因此 事件A 的概率估计值为0 620 660 4092 2 根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量50kg箱产量50kg 旧养殖法62 38 新养殖法34 66 2 2 20062663438 15 705 100 10096104 K 由于 15 7056 635 故有99 的把握认为箱产量
12、与养殖方法有关 3 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中 箱产量低于50kg 的直方图面积为 0 0040 0200 04450 340 5 箱产量低于55kg 的直方图面积为 0 0040 0200 044 0 06850 680 5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 0 5 0 34 50 2 35 kg 0 068 5 19 解 1 取PA中点F 连结EF BF 因为E为PD的中点 所以 EFAD 1 2 EFAD 由 90BADABC 得BC AD 又 1 2 B CAD 所以 EFBC 四边形BCEF为平行四边形 CEBF 又BFPAB平面 CEPAB平面 故CEPAB 平面 2
13、由已知得BAAD 以 A为坐标原点 AB 的方向为x轴正方向 AB 为单位长 建立如图所示的空间直 角坐标系A xyz 则 则 000 A 100 B 1 10 C 013 P 7 103 PC 10 0 AB 则 x1 x13 BMyzPMyz 因为 BM 与底面 ABCD所成的角为45 而 0 0 n 1 是底面 ABCD的法向量 所以 0 cos sin 45BM n 222 z2 2 x1 yz 即 x 1 2 y2 z2 0 又 M 在棱 PC上 设 PMPC 则 x 1 33yz 由 得 xx yy 22 1 1 22 1 舍去 1 66 zz 22 所以 M 26 1 1 22
14、从而 26 1 1 22 AM 设 000 xyzm 是平面 ABM 的法向量 则 000 0 2 2260 0 即 0 0 xyz AM AB x m m 所以可取 m 0 6 2 于是 cos 10 5 m n m n m n 因此二面角M AB D 的余弦值为 10 5 20 解 1 设 P x y M x0 y0 设 N x0 0 00 0 NPxxyNMy 由2NPNM得 00 2 2 xx yy 因为 M x0 y0 在 C 上 所以 22 1 22 xy 因此点 P的轨迹方程为 22 2xy 8 2 由题意知F 1 0 设 Q 3 t P m n 则 3 1 33tOQ PFmn
15、OQ PFm tn 3 OPm nPQm tn 由1OP PQ得 22 31mmtnn 又由 1 知 22 2mn 故 3 3m tn 0 所以0OQ PF 即 OQPF 又过点 P存在唯一直线垂直于OQ 所以过点P且垂直于OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F 21 解 1 fx 的定义域为0 设g x ax a lnx 则fx xgx fx0等价于0g x 因为 1 1 0 0 故1 0 而 1 1 得1ggxg g xag aa x 若 a 1 则 1 1g x x 当 0 x 1 时 0 g xg x 单调递减 当x 1 时 g x 0 gx 单调递 增 所以 x 1 是 gx的极小值点
16、 故1 0g xg 综上 a 1 2 由 1 知 2 ln 22lnfxxxxx fxxx 设 1 22ln 则 2h xxxhx x 当 1 0 2 x时 0hx 当 1 2 x时 0hx 所以 h x在 1 0 2 单调递减 在 1 2 单 调递增 又 2 1 0 0 10 2 h ehh 所以h x在 1 0 2 有唯一零点x0 在 1 2 有唯一零点1 且当 0 0 xx时 0h x 当 0 1 xx时 0h x 当1 x时 0h x 因为 fxh x 所以 x x0是 f x 的唯一极大值点 由 000000 0得 ln2 1 故 1 fxxxfxxx 由 0 0 1x得 0 1 4 fx 因为 x x0是 f x 在 0 1 的最大值点 由 11 0 1 0efe得 9 12 0 fxfee 所以 2 2 0 2efx 22 解 1 设 P的极坐标为 0 M 的极坐标为 11 0 由题设知 cos 1 4 OPOM 由 16OMOP 得 2 C 的极坐标方程cos 4 0 因此 2 C的直角坐标方程为 2 2 240 xyx 2 设点 B的极坐标为 0 BB 由题设知 co
