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1、圆锥曲线定义的深层及综合运用http:/www.DearEDU.com吴宝莹 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则，
2、即 在 故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y1的最短距离。图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AAl，BBl，MMl，垂足分别为A、B、M 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. 已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ）图4已知圆，
3、M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（ ） A. 圆B. 椭圆 C. 双曲线D. 抛物线 解析：如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|QP|， 而|QM|OM|OQ|2|OQ| 即|OQ|QP|2|OP| 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（7，0），B（7，0），C（2，12）。若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方
4、程。图5 解析：由椭圆定义知，|AP|AC|BP|BC|， 即 故P的轨迹为A（7，0）、B（7，0）为焦点 实轴长为2的双曲线的一支， 其方程为； 经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上 总有|QA|QB|AC|BC|28|AB|14 故点Q的轨迹为以A（7，0）、B（7，0）为焦点 长轴长为28的椭圆，其方程为。练习 1. 已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以为焦点，为其顶点，若P为两曲线的公共点，且，则e_。 答案： 2. 已知O：，一动抛物线过A（1，0）、B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F的轨迹方程。 答案：用心 爱心 专心 115号编辑 4
