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1、数学综合研究性学习报告数学中的黄金分割班级：高三（5）班组长：田启航课题研究组其他成员：（为保护隐私已略去）指导老师：（为保护隐私已略去）1高中数学研究性学习课题开题报告主课题：数学中的黄金分割子课题名称：数学中的黄金分割主导课程：数学中的黄金分割相关课程：无课题组成员：田启航、（为保护隐私已略去）组长：田启航班级：高三（5）班指导教师：（为保护隐私已略去）简要背景说明（课题是如何提出来的）：黄金分割是世界上最优美的比例之一，是将一条线段分成不相等的两段，使较小线段与较大线段的比等于较大线段与整个线段的比。我们被黄金分割的美深深吸引，决定从数学的角度研究它。课题的目的与意义：能够增强我们的数学
2、能力，丰富我们的知识，激励我们成长。活动计划1） 任务分工：整理材料：（为保护隐私已略去）编写文章：田启航思考总结：田启航2）活动步骤：分 3 阶段实施阶段时间（周）主要任务阶段目标整理资料1查找有关资料并筛选整理好资料编写文章2编写黄金分割的文章编写好文章思考总结3总结并思考本次研究思考好研究3）计划访问的专家：校内 1 位，如（为保护隐私已略去），等校外 0 位，如：，等4）活动所需的条件：图书资料如_数学课本 、中国大百科全书数学_实验室（设备）如_无_交通工具如_无_其他（如计算机上网等）_计算机上网_预期成果：完成2种以上的黄金分割的分析展现形式：研究报告第一部分：数学中的黄金分割黄
3、金分割概述黄金分割是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取1.618，这个数值在建筑、管理、工农业生产、科学实验、经济等各个方面有着不可忽视的作用。中国大百科全书数学单独列出黄金分割（golden section）词条：“分已知线段为两部分，使其中一部分是全线段与另一部分的比例中项。这就是黄金分割问题。”黄金分割数是一个无理数，通常用表示，它的前20位为1.6180339887498948482。与黄金分割相关的一个例子就是斐波那契数列：l，l，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，。有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项
4、公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数部分越来越逼近黄金分割比0.618。斐波那契数列具有以下一些特点：（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。（2）数列中前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0.618；后一数字与前一数字之比例，趋近于1.618。（3）1.618与0.618互为倒数，其乘积则约等于l。除能反映黄金分割的两个基本比值0.618和1.618以外，还有0.236、0.382、1.236、1.382、2.618、4.236等。0.236是0.618的三次幂；0.382是斐波那契序列中的项与其后第二项的比值的极限值，也是0.618的
5、二次幂，同时也是1与0.618的差；1.236是0.618的两倍；2.618是斐波那契序列中的项与其前第二项的比值的极限值，也是1.618的二次幂，同时也是1与1.618的和；4.236是1.618和2.618的积，也是0.236的倒数。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契，他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了珠算原理一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。黄金分割理论的产生和发展黄金分割的起源要追溯到公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。相传毕达哥拉斯有一次从一家铁匠铺路过时，发现铺子中发出的叮叮当当的打铁声似乎隐匿着什么秘密，于是他走进铺子，测量了
6、一下铁锤和铁砧的尺寸，惊奇地发现它们之间存在着一种很和谐的关系。回到家后，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分成两段，在铁锤和铁砧尺寸比例的启发下，他最后确定把一根线按1:0.618的比例截断最优美。而且，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起比例理论，根据欧德莫斯在几何学史中的记载，他在研究这一问题时应用了分析法。黄金分割的系统论述，最早见于欧几里得几何原本。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著
7、书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。到19世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。第二部分：现实生活中的黄金分割（一）人体中的黄金分割一些数据的陆续发现，表明人体其实是世界上最美的物体。德国美学家泽辛对人体做了大量的计算，发现人体的黄金分割点竟然有四处，即为肚脐、咽喉、膝关节和肘关节。就人体的整体结构而言，从脚底往上量，人整体身高的0.618处正好在肚脐附近。而在中医中，人体中两个个重要的穴位：“气海”（又称“
8、丹田”）、“命门”都在这个位置附近。肚脐以下与一个人整体身高的比为0.618:1，就构成了黄金分割，这样的比例会给人以舒服、优美的感觉。除此之外，人体上还存在3处黄金分割。一处是咽喉，是肚脐以上部分的黄金分割点。咽喉至头顶与咽喉至肚脐长度的比为0.618:1。另一处是膝盖，是肚脐以下部分的黄金分割点。膝盖至脚后跟与肚脐至膝盖长度的比为0.618:1。再有一处是肘关节，是上肢部分的黄金分割点。肩关节至肘关节与肘关节至中指指尖长度的比也为0.618:1。如果一个人这四处结构的比例都符合黄金分割律，那么这个人的身体比例看起来就是最优美的。除此之外，人体上还有很多细微之处都能看到黄金分割的身影，这是经
9、过长时间的自然选择而形成的最适合人类生存的比例。人的生命体征中也有许多符合黄金分割的现象。人类的消化道长9米，其0.618为5.5米，是承担消化吸收任务的小肠的长度。人体最适应的温度就是用黄金分割率乘以自身的温度，人的正常体温是37.5摄氏度，它和0.618的乘积为23.175摄氏度，人处在这一环境温度中时，机体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均会处于最佳状态。养生学家通过多年观察发现，动和静是一个0.618比例关系，大致四分动六分静才是较佳养生之法。医学专家分析后发现，人的脑电波图，当高低频率的比为1:0.618时，是身心最感快乐欢愉的时刻。（二）家庭理财中的黄金分割法黄金分割法是一种分散风险
10、的家庭理财技巧。这种资金分布的投资方法比较适合那些保守型的投资者选用。其操作过程和要求是投资者将资金分成两部分，一部分存入银行，获得利息，另一部分投资于证券，买入股票或基金，等待分红或涨升，投资于证券与存款的比例大体保持在4:6的比例。这一比例符合数学中的黄金分割，基准点为0.618，即62%左右。采用黄金分割法的优点是，在证券进行了适当的投资，有时可获得较高的收益，虽证券投资风险较大而由于一半以上的资金投向了安全性较高的存款，能使投资者有一种心理稳定感，即使在别的投资方面暂时失利，也不至于损失太大。其不足之处在于这种投资方法较为保险，故容易失去一些最大限度获取利润的机会。（三）证券价格预测中
11、的黄金分割在证券价格预测中，根据黄金比率有两种黄金分割分析方法。第一种方法:以价格近期走势中重要的高点或低点为计算未来走势的基础，当价格下跌时，以高点价格为基数，跌幅在达到某一黄金比时较可能受到支撑，反之，当价格上涨时，以低点价格为基数，涨幅在达到某一黄金比时可能受到压力。当行情接近尾声，价格发生急升或急跌时，其涨跌幅达到某一重要黄金比时，则可能发生转势，例如，我国上证指数于2011年7月15日达到阶段性高点2820点，随后开始下跌，于2011年10月21日跌至同期低点2317点，跌幅为503点，之后开始反弹，与2011年11月4日反弹结束收于2528点，涨幅为211，涨跌幅211与503的比
12、约为0.4，非常接近黄金分割比中的重要比例0.382。第二种方法:行情发生转势后，无论是止跌转升的反转或止升转跌的反转，以近期走势中重要的高点和低点之间的涨幅作为计量的基数，将原涨跌幅按0.191、0.382、0.5、0.618、0.809分割为五个黄金点。价格在后来的走势将有可能在这些黄金点上遇到暂时的阻力或支撑，例如，我国上证指数在2011年7月15日达到2820点处上涨受阻，随后开始下滑，至同年10月21日跌至2317点开始止跌反弹，2317与2820的比值为0.821，与黄金分割比例中的一个重要比例0.809非常接近。（四）艺术作品中的黄金分割西方画家大都非常注意把和谐的比例关系融入到
13、自己的绘画中，达芬奇就曾经去挖掘出人的尸体来测量人体骨骼结构的确切比例，他也因此成为宣称人体的结构比例完全符合黄金分割率的第一人。艺术家在设计创作其作品时都会有意识地、严格地遵循黄金分割比率。维纳斯雕像大家都很熟悉，美妙绝伦，为世人所赞美。她之所以有如此倾人之美，与她黄金分割的设计是分不开的，她肚脐以上部分与肚脐以下部分长度的比例约等于0.62，非常接近黄金分割比例0.618，这种伟大的艺术无疑是美的原理和数学理念和谐统一的典范。优美动听的琴音，也是综合了各种条件而得来的。在贝多芬、莫扎特、巴赫、舒伯特等人的音乐里，无不流淌着黄金分割的完美和谐。乐曲中的大小高潮部分大都处在乐曲的5:8的交叉点
14、上。黄金分割律也是小提琴系统工程中的一个重要组成部分。著名的小提琴制作家斯特拉迪瓦里在制造小提琴时正是用黄金分割来确定f形洞的确切位置。中国古人虽不知这个神奇数字的存在，却给我们留下了不少至理名言:“善画者留白，善乐者希声，善言者忘语，善书者缺笔，大贤者若痴，大智者若愚”。明朝李焕说：“和盘托出，不若使人想象无穷耳”。这些古代哲理，无不隐喻着黄金分割的精髓。国画、书法讲究“意到笔不到”，笔到则太露，意到则回味无穷，只托出一大半儿就给人留以想象和发挥的余地。总结语黄金分割与我们的生活息息相关，在我们的周围随处可见，并被运用于许多科学研究中。本次活动分两部分对黄金分割进行了探讨，第一部分简要介绍了
15、黄金分割的定义以及黄金分割的产生和发展；第二部分介绍了黄金分割在现象和生活中的表现形式，包括在人体中，家庭理财中，证券价格预测中以及在艺术作品中的体现。数学是中一门蕴含丰富美学价值的学科，其中黄金分割尤其充满了神秘。由于缺乏理论依据，黄金分割中的神秘数字常被人们认为是巧合，但自然界中确实存在许多与黄金分割有关的现象。我们要努力研究出黄金分割中的秘密，作为回报伟大祖国的礼物！学生自评：本组成员选择了富有个性化的研究课题，这些黄金分割的例子以它们神秘的魅力吸引着我们去研究和学习。在小组合作过程中，我们分工明确，态度认真，富有激情地投入到对黄金分割案例的分析和挖掘中去，并且从中受到感染和教育。通过本次研究，我们再次感受到对黄金分割研究的意义，时代和生活需要我们年青人好好学习，燃烧自我、投入生活、改造世界！总的来说，我们的研究是成功的，富有创造力和感染力，这是一次有价值的研究和学习。教师评价：
