高中数学排列组合教案资料

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1、1 2排列与组合 一 排列与排列数 排列 排列的定义中包含两个基本内容 一是 取出元素 二是 按照一定顺序排列 一定顺序 就是与位置有关 这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志 根据排列的定义 两个排列相同 当且仅当这两个排列的元素完全相同 而且元素的排列顺序也完全相同 1 排列定义 如果两个排列所含的元素不完全一样 那么就可以肯定是不同的排列 如果两个排列所含的元素完全一样 但摆的顺序不同 那么也是不同的排列 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素按照一定顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 对 n取m的一个排列 的认识 1 元素不能重复 n个中不能重复 m个

2、中也不能重复 2 按一定顺序 就是与位置有关 这是判断一个问题是否是排列问题的关键 3 两个排列相同 当且仅当这两个排列中的元素完全相同 而且元素的排列顺序也完全相同 4 m n时的排列叫选排列 m n时的排列叫全排列 5 为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏 最好采用 树形图 2 排列数 1 排列数公式的特点 第一个因数是n 后面每一个因数比它前面一个因数少1 最后一个因数是n m 1 共有m个因数 3 排列数公式 例1 下列问题中哪些是排列问题 1 10名学生中抽2名学生开会 2 10名学生中选2名做正 副组长 3 从2 3 5 7 11中任取两个数相乘 4 从2 3 5 7 11中任

3、取两个数相除 例题选讲 5 20位同学互通一次电话 6 20位同学互通一封信 7 以圆上的10个点为端点作弦 8 以圆上的10个点中的某一点为起点 作过另一个点的射线 9 有10个车站 共需要多少种车票 10 有10个车站 共需要多少种不同的票价 例6 解方程 例7 求证 例8 求的个位数字 例9 求的值 排列及排列数公式的应用 1 排列定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素按照一定顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 简称 n取m的一个排列 知识回顾 2 排列数公式 乘积式 阶乘式 能力要求 1 能分清楚排列和非排列问题 2 能灵活应用排列数公式 3 能用排

4、列知识解决简单的排列问题 例题讲解 1 排列的判断 例1 下列问题中哪些是排列问题 若是 请用排列数公式写出答案 1 从高二 9 班50名同学中选出3人去参加劳动 有多少种选法 2 从高二 9 班50名同学中选出3人去参加3项不同的劳动 有多少种选法 3 从0 1 2 3 9共10个数字中选出两个作为元素组成集合 有多少个不同的集合 4 从0 1 2 3 9共10个数字中选出两个分别作为横纵坐标 x y 有多少个不同的坐标 5 5名同学争夺3个项目的冠军 有多少种不同的情况 6 5名同学坐3个座位 有多少种不同的情况 7 5名同学坐8个座位 有多少种不同的情况 8 中国足球甲级联赛实双循环赛制

5、 每两只球队都要分别在主场 客场打一场 若有16支球队 一共要打多少场比赛 9 中国足协杯比赛实行淘汰制 两支球队打一场 胜者晋级 最后决出冠军 若有16支球队 一共要打多少场比赛 10 中国象棋甲级联赛实行单循环制 每两个队员比赛一场 最后按积分定出名次 若有16个队员 一共要进行多少场比赛 2 排列数公式 例2 求的值 例3 解下列方程 1 2 2 排列的应用 例4 用0 1 2 3 4 5共6个数字选4个组成五重复数字的四位数 1 共有多少个不同的四位数 2 共有多少个不同的四位偶数 3 共有多少个比2041大的四位数 例5 在7名运动员中选出4名组成接力队参加4 100米比赛 那么甲

6、乙都不跑中间两棒的安排方法有多少种 例6 5人站成一排 1 其中甲 乙两人必须相邻 有多少种不同的排法 2 其中甲 乙两人不能相邻 有多少种不同的排法 3 其中甲不站排头 有多少种不同的排法 4 其中甲不站排头 乙不站排尾 有多少种不同的排法 1 若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译 导游 导购 保洁四项不同的工作 则选派的方案有多少种 2 从若干个元素中选出2个进行排列 可得210种不同的排列 那么这些元素共有多少个 3 5个班 有5名语文老师 5名数学老师 5名英语老师 每班配一名语文老师 一名数学老师 一名英语老师 问有多少种不同的搭配方法 跟踪练习 4 计划展出10幅不同的画 其中1幅

7、水彩画 4幅油画 5幅国画 排成一行陈列 要求同一品种的画必须连在一起 那么不同的陈列方式有多少种 5 1 将18个人排成一排 不同的排法有多少种 2 将18个人排成两排 每排9人 不同的排法有多少种 3 将18个人排成三排 每排6人 不同的排法有多少种 6 5名学生和1名老师照相 老师不能站排头 也不能站排尾 共有多少种不同的站法 7 4名学生和3名老师排成一排照相 老师不能排两端 且老师必须要排在一起的不同排法有多少种 8 停车场有7个停车位 现在有4辆车要停放 若要使3个空位连在一起 则停放的方法有多少种 9 一条铁路原有n个车站 为适应客运需要增加例m m 1 个车站 车票增加了62种

8、 问原有多少个车站 10 某天要排语文 数学 英语 物理 化学 体育6节课 其中上午4节 下午2节 1 若第1节不排体育 最后一节不排数学 有多少排法 2 若第1节不排体育 下午不排数学 有多少排法 3 若语文 数学排相邻 有多少排法 二 组合与组合数 问题一 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动 其中1名同学参加上午的活动 1名同学参加下午的活动 有多少种不同的选法 问题二 从甲 乙 丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动 有多少种不同的选法 甲 乙 甲 丙 乙 丙 3 组合 问题二 问题一 有顺序 无顺序 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同

9、元素中取出m个元素的一个组合 排列与组合的概念有什么共同点与不同点 1 组合定义 组合定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 排列定义 一般地 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 共同点 都要 从n个不同元素中任取m个元素 不同点 排列与元素的顺序有关 改变顺序不相同 组合与元素的顺序无关 无顺序 或唯一顺序 对 排列 组合 的认识 思考一 aB与Ba是相同的排列 还是相同的组合 为什么 思考二 两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢 构造排列分成两步完

10、成 先取后排 构造组合就是其中一个步骤 思考三 组合与排列有联系吗 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题 1 设集合A a b c d e 则集合A的含有3个元素的子集有多少个 2 某铁路线上有5个车站 则这条铁路线上共需准备多少种车票 有多少种不同的火车票价 组合 3 10人聚会 见面后每两人之间要握手相互问候 共需握手多少次 组合 组合 组合是选择的结果 排列是选择后再排序的结果 排列 例2 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是 ab ac bc 例3 已知4个元素a b c d 写出每次取出两个元素的所有组合 ab ac ad bc bd cd 3个 6个 从n个

11、不同元素中取出m m n 个元素的所有组合的个数 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 用符号表示 如 从a b c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是 如 已知4个元素a b c d 写出每次取出两个元素的所有组合个数是 注意 是一个数 应该把它与 组合 区别开来 2 组合数 写出从a b c d四个元素中任取三个元素的所有组合和排列 并探究二者的关系 abc abd acd bcd b c d d c b a c d 探究 组合 排列 abcbaccabacbbcacba abdbaddabadbbdadba acdcaddacadccdadca bcdcbddbcbdccdb

12、dcb 三个元素的 1个组合 对应着6个排列 你发现了什么 排列与组合是有区别的 但它们又有联系 一般地 求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 可以分为以下2步 第1步 先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数 第2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 根据分步计数原理 得到 因此 这里m n是自然数 且m n 这个公式叫做组合数公式 3 组合数公式 组合数公式 从n个不同元中取出m个元素的排列数 组合数公式 排列数公式 规定 例1 计算 2 列出所有冠亚军的可能情况 2 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁乙甲 丙甲 丁甲 丙乙 丁乙 丁丙 1 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 解 3

13、 已知 求n的值 例3 3 10名学生 7人扫地 3人洒水 那么不同的分工方法有种 1 用m n表示 2 从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛 共有种不同的选法 如果这三个选手又按照不同顺序安排 有种方法 练习 例1 在产品检验中 常从产品中抽出一部分进行检查 现有100件产品 其中3件次品 97件正品 要抽出5件进行检查 根据下列各种要求 各有多少种不同的抽法 解答 1 2 3 5 6 1 有10道试题 从中选答8道 共有种选法 又若其中6道必答 共有不同的种选法 2 某班有54位同学 正 副班长各1名 现选派6名同学参加某科课外小组 在下列各种情况中 各有多少种不同的选法 1 无任何限制条件

14、 2 正 副班长必须入选 3 正 副班长只有一人入选 4 正 副班长都不入选 5 正 副班长至少有一人入选 6 正 副班长至多有一人入选 练习 例2 从数字1 2 5 7中任选两个 有不同的英文书5本 不同的中文书7本 从中选出两本书 1 若其中一本为中文书 一本为英文书 问共有多少种选法 1 可以得到多少个不同的和 2 可以得到多少个不同的差 2 若不限条件 问共有多少种选法 6个 12个 35种 66种 练习 例3 有12名划船运动员 其中3人只会划左舷 4人只会划右舷 其它5人既会划左舷 又会划右舷 现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛 有多少种不同的选法 有10名同

15、学 5名会唱歌 7名会跳舞 现选唱歌和跳舞的各一名 有多少种选法 练习 例4 在 MON的边ON上有5个异于O点的点 OM上有4个异于O点的点 以这十个点 含O 为顶点 可以得到多少个三角形 1 如图 在以AB为直径的半圆周上有异于A B的六个点C1 C2 C3 C4 C5 C6 AB上有异于A B的四个点D1 D2 D3 D4 问 1 以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形 2 以图中12个点 包括A B 中的四个为顶点 可作多少个四边形 练习 2 如图两组平行直线有12个交点 平行线间距离相等 1 以这些平行线为边能组成多少个平行四边形 2 以这些交点为顶点能组成多少个三角形 3 平

16、面M N M内有5个点 N内有4个点 任3点不共线 无其他四点共面 1 能组成多少条直线 2 三棱锥 3 四棱锥 M N 例题 1 求的值 2 求满足的x值 3 求证 4 求的值 161700 5或2 511 两个组合数性质 7 0 1 或3 5 求的值 1 2 3 4 练习 三 排列与组合综合应用 求证 证明 因为 左边 注意阶乘的变形形式 左边 评注 所以等式成立 例1 一 公式的应用 1 2 练习 例1 7个高矮不同的人站成一排 分别求下列的不同站法数 1 甲必须站中间 2 甲站左端 乙站右端 3 甲站乙的左边 4 甲不站左端 乙不站右端 5 甲 乙中间至少隔二人 6 最高的同学站中间 两边依次降低 二 捆绑法 插空法 组合法 比例法 7 甲 乙要相邻 8 甲 乙不相邻 9 甲 乙 丙都不邻 10 甲 乙要相邻 而与丙都不邻 11 甲 乙要相邻 甲与丙都不邻 12 甲 乙 丙顺序只能从左到右 13 甲乙丙顺序从左到右 丁在戊的左边 例2 如图 每个小矩形全等 只能沿着矩形的边沿行走 则从A到B的最短路径有多少条 A B E F G H 若菱形EFGH为一个水池 只能沿着其边缘沿行