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1、 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 第五章第五章 分析与综合方法分析与综合方法 5 1 有结构不确定性有结构不确定性 考虑下图所示反馈控制系统 上图所示系统等价于下图所示系统 P 2 1 K 2 W 1 W P K 2 W 1 W 1 2 0 0 s M s s M s 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 其中的模型摄动 s 具有对角块结构 有结构摄动 s 12 12s12 11 diag jj s mm rrrFij sF ij ij I I I rmn CC 称 为结构集合 令 1 1 B B 5 2 结构奇异值结构奇异值 及其性质及其性质 假设 s 和 M s均是稳
2、定的 则当 充 分小时 闭环系统是稳定的 若存在s C 使得 det0IM ss 则闭环系统不稳定 显然 当 1M 时 即 1 M D R 易知 对于 U U D D 成立 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 U U U UU DD U 对于任意U U和任意D D 成立 1 MMMDDMUU 证明 1 11 detdet detdet I MI M I D D DDDDMI M detdet det UI MI M I M U UU 因此关于 M 的界可收紧为 1 inf DU UMMDMD DU max 下界为等式 即 U MUM U max 当23SF 时 上界为等式 即 1 i
3、nf D MDMD D 对于一般情形 M 不等于 1 inf D DMD D 但对于多数情形 M 与 1 inf D DMD D 近似等于 计算 1 inf D DMD D 是一凸优化问题 但求 max U UM U 不是凸优化问题 5 3 结构奇异值结构奇异值 与常数线性分式变换与常数线性分式变换 设M为一复数矩阵 将其分块为 1112 2122 MM M MM 定义维数分别与 11 M和 22 M相匹配的结构集合 1 和 2 并定义结构集合 1 1122 2 0 0 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 当 222 IM 非 恒 奇异 即可逆时 线性分式变换 LFT 2l F M
4、有定义 为适定的 注意 1 21112222221l F M MMIMM 定理 1 对于任意 2 2 B 2l F M 为适定的 iff 2 22 1M 2 对于任意 2 2 B 2l F M 为适定的 iff 2 22 1M 证 如果 2 22 22222 max1MM B 则显然 对于任意 2 2 B 222 IM 非奇异 如果 22 222 max1M B 则存在 2a B 和 成立 22a M 其 中1 令 ba 则 2b B 且 22b M 因此 22b IM 奇异 故 如果对任意 2 2 B 222 IM 非奇异 即 2l F M 为适定的 则必有 2 22 1M 主回路定理 1M
5、 iff 2 22 1M 且 1 2 2 max1 l F M 2 B 1M iff 2 22 1M 且 1 2 2 max1 l F M 2 B 证明 仅证第一个结论 可类似证明第二个结论 if 部分 给定 ii 满足 1 i 1 2i 定义 s M s 1 s M s 2 s 1 s 2l F M 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 1 2 0 0 由 2 22 1M 知 222 IM 可逆 所以有 111122 211222 1 222111122222211 22221 detdet detdet detdet l IMM IM MIM IMIMMIMM IMIF M 由 1
6、 2 2 max1 l F M 2 B 以及 ii B 知 21l IF M 非奇异 因此 IM 非奇异 故有 max1MM B only if 部分 由 M 的定义易知 12 1122 maxMM M 1M 意味着 2 22 1M 因此 222 IM 可逆 且成立 22221 0detdetdet l IMIMIF M 故对任意 ii B 21l IF M 非奇异 即 1 2 2 max1 l F M 2 B 5 4 有结构摄动系统鲁棒稳定性有结构摄动系统鲁棒稳定性 对于分块结构集合 1 1s1 diag jj s mm rrFij I I CC 定义 oo s s M RH C 定理 假设
7、 G s RH M 且 1 则有结构摄动反馈系统是 适定的且内稳定 iff supG j R s G s 1 w 1 e 2 e 2 w 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 证明 由 G 的定义可容易证的 例 考虑下图示系统的鲁棒稳定性 其中 1 1 2 6 40010000 160160 161100 6 4 1 1 1 160 1616 HHHH H sCsIABD sI s s 78 5 43 u s Ws s 2 32 12 5617 3267 28 20 37136 74179 46 s s K s s s s 则 1 2 1 16 0 1616 1 0 4 u FH s
8、s 若 1 1 意味着存在40 的参数不确定性 定义 1 2 0 0s 对M分块 1112 2122 MM M MM 其为中 11 M和 22 M分别为2 2 和1 2 矩阵 则上图所示系统的等价描述如下图所 示 H s K s u d e 1 w 1 1 8 1 5 2 u W y 2 w 2 z n 1 z 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 欲分析上述系统的鲁棒稳定性 只需对下图所示系统进行分析 1 输入数据 rsexamp creates data minfo M 2 计算频率相应 选取上面两个通道以分析鲁棒稳定性 omega logspace 2 2 200 M g frs
9、p M omega M11 g sel M g 1 2 1 2 3 定义不确定结构描述矩阵 1个实参数 1个未建模动态 deltaset 1 0 1 1 4 计算 11 Mj mubnds dvec sens pvec gvec mu M11 g deltaset 5 绘图 vplot liv m mubnds pkvnorm sel mubnds 1 1 pklow omegapklow pkvnorm sel mubnds 1 2 M s 1 w 2 w 1 z 2 z d n e 1 2 s 11 Ms 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 11 Mj 的上 下界很接近 最大值约
10、为0 89 因此 当 2 s RH且 1 1 121 2 0 89 i i 时 闭环系统鲁棒稳定 如果不考虑 的结构 由于 11 1 3428M 为保证闭环系统鲁棒稳定 要求 1 0 7447 1 3428 i 可见 考虑不确定性的结构时 所得结果的保守性更小 5 5 有结构摄动系统鲁棒性能有结构摄动系统鲁棒性能 考虑如图所示有结构摄动反馈系统 其中 1212 1112 2122 ppqq GsGs G s GsGs RH 令 s G s w z 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 1122 0 0 qpqp pf f CC 为分块结构集合 定理 假设 M 且 1 则有结构摄动反馈系
11、统是适定的 内稳 定的 且 u FG iff sup p G j R 例 考虑图示系统的鲁棒性能 其等价描述为 H s K s u d e 1 w 1 1 8 1 5 2 u W y 2 w 2 z n 1 z M s 1 w 2 w 1 z 2 z d n e 1 2 p s G s 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 由定理可知 需分析 M s关于 p 的 值 由图可知 sup1 02 p Mj R 因此 当 1 1 2 1 02 i i 时 闭环系统鲁棒内稳定 且 1 02 u FM 5 6 综合方法综合方法 回顾前述结果 1 鲁棒稳定性 M s F s G s p s M s
12、 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 定理 假设 G s RH M 且 1 则有结构摄动反馈系统是 适定的且内稳定 iff supG j R 2 鲁棒性能 定理 假设 M 且 1 则有结构摄动反馈系统是适定的 内稳 定的且 u FG iff sup p G j R 其中 1212 ppqq G s RH 1122 0 0 qpqp pf f CC 考虑鲁棒控制器的设计 对于鲁棒镇定问题 则考虑下图所示系统 对于鲁棒性能问题 则考虑下图所示系统 s G s K s s G s K s w z e d yu s G s w z 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 易知 ullu
13、 FF G K FFG K 假设 s RH且1 步骤 2 b 中的拟合条件为 ii djd 5 7 HiMAT 自动驾驶仪鲁棒控制器设计 自动驾驶仪鲁棒控制器设计 例 考虑HiMAT无人驾驶飞机自动驾驶仪俯仰轴鲁棒控制器设计问题 闭环系 统如图所示 0 G d W y K G p W n W u G1 2 d d 1 2 e e 3 4 d d zv himat ic 0 G d W y K G p W n W u G1 2 d d 1 2 e e 3 4 d d zv himat ic 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 mu 综合 1 run mkhicn zys m 系统描述
14、2 run himat dk zys m 问题描述 3 run dkit m D K迭代 4 run red chck zys m 平衡降阶 检查 控制器输出 clear echo off 1 run mkhicn zys m from mu pdf p 7 101 受控对象模型 mkhimat seesys himat 0 0226 36 6 18 9 32 1 0 0 0 1 9 0 983 0 0 414 0 0 0123 11 7 2 63 0 77 8 22 4 0 0 1 0 0 0 0 0 57 3 0 0 0 0 0 0 0 57 3 0 0 加权矩阵 wdel nd2sys
15、50 5000 1 10000 wp nd2sys 0 5 0 9 1 0 018 poleloc 320 wn nd2sys 2 0 008 poleloc 1 poleloc himat ic z e y v d u K G himat ic z e y v d u F 鲁棒控制 课堂笔记 清华大学自动化系 钟宜生 wdel daug wdel wdel wp daug wp wp wn daug wn wn 系统连接 systemnames himat wp wdel wn inputvar pertin 2 dist 4 control 2 outputvar wdel wp hima
16、t dist 1 2 wn input to himat control pertin input to wdel control input to wp himat dist 1 2 input to wn dist 3 4 sysoutname himat ic zys cleanupsysic yes sysic 2 run himat dk zys m Nominal plant interconnection structure NOMINAL DK himat ic zys Number of measurements NMEAS DK 2 Number of control inputs NCONT DK 2 Block structure for mu calculation BLK DK 2 2 4 2 Frequency response range OMEGA DK logspace 3 3 60 3 run dkit m DK DEF NAME himat dk zys dkit 4 run red chck zys m 平衡降阶与检查 max real spo
