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1、第3讲 整式及因式分解【试试火力】1.下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）x210x+25；4a2+4a1；x22x1；A 1个 B 2个 C 3个 D 4个2.先化简，再求值：已知，其中x=2，y=0.5已知x25x14=0，求（x1）（2x1）（x+1）2+1的值【把握火苗】火点1 整式的相关概念单项式概念由数与字母的 组成的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个 也是单项式).系数单项式中的 因数叫做这个单项式的系数.次数单项式中的所有字母的 和叫做这个单项式的次数.多项式概念几个单项式的 叫做多项式.项多项式中的每个单项式叫做多项式的项.次数一个多项式中， 的项的次数叫做这个多
2、项式的次数.整式单项式与 统称为整式.同类项所含字母 并且相同字母的指数也 的项叫做同类项.所有的常数项都是 项.火点2 整式的运算整式的加减合并同类项1.字母和字母的指数不变；2. 相加减作为新的系数.添(去)括号添(去)括号：括号前面是“+”号，添(去)括号都 符号；括号前面是“-”号，添(去)括号都要 符号.幂的运算同底数幂的乘法aman= .注意：a0，b0，且m、n都为整数.幂的乘方(am)n= .积的乘方(ab)n= .同底数幂的除法aman= .整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的 、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式.单项式与多项式相
3、乘用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即m(abc)= .多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即(mn)(ab)= .整式的除法单项式除以单项式把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 作为商的一个因式.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商 .乘法公式平方差公式(ab)(a-b)= .完全平方公式(ab)2= .定义把一个多项式化成几个整式 的形式，就是因式分解.方法提公因式法ma+mb+mc= .公式法a2-b2= ；a22abb2= .步骤1.若有公因式，应先 ；2
4、.看是否可用 ;3.检查各因式能否继续分解.火点3 因式分解【易错提示】因式分解必须分解到每一个多项式不能再分解为止.【掌握火候】1.求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法.2.整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷.【突破火点】燃点1代数式及其求值例1若x+y=7，求的值若，求（x2ab）2a+b的值考点：完全平方公式；幂的乘方与积的乘方专题：计算题分析：原式提取变形后，利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值；原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算即
5、可得到结果解答：解：x+y=7，原式=（x2+y2+2xy）=（x+y）2=；=2，=7，原式=（）4=167=点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键方法归纳：求代数式的值时，常采用以下两种方法：应用整体代入求值；把已知的式子化为一个字母用另外的字母表示，代入所求代数式，进行化简求值.燃点2 整式的运算例2（2017四川眉山）先化简，再求值：（a+3）22（3a+4），其中a=2【考点】4J：整式的混合运算化简求值【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=a2+6a+96a8=a2+1，当a=2时，原式=4+1=5方
6、法归纳：进行整式的运算时，要先进行整式的乘法运算，再合并同类项，结果应为最简的，代入求值时，要注意整体添加括号.燃点3 因式分解例3 （2017内蒙古赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x=x（y+4）2【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解【解答】解：xy2+8xy+16x=x（y2+8y+16）=x（y+4）2故答案为：x（y+4）2方法归纳：因式分解，首先需观察有无公因式可提，然后再考虑是否可用公式法分解，直到分解到不能再分解为止.【冰火不容】1. （2017张家界）因式分解：x3x
7、=x（x+1）（x1）2. （2017江苏徐州）已知a+b=10，ab=8，则a2b2=803. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+64. （2017宁德）化简并求值：x（x2）+（x+1）2，其中x=25. 下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题解：x（x+2y）（x+1）2+2x=x2+2xyx2+2x+1+2x 第一步=2xy+4x+1 第二步（1）小颖的化简过程从第一步开始出现错误；（2）对此整式进行化简6. 阅读下面的解答过程，求y
8、2+4y+8的最小值解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+44，（y+2）20即（y+2）2的最小值为0，y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4x2+2x的最大值7. 千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地，物业部门计划将内坝进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一仿古小景点（如图中间的长方形），则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积8. 已知a、b、c分别是ABC的三边的长，且满足a2+b2+c2abcabc=0求证：ABC是等边三角形（提示：通过代数式变形和配成完全平方
9、后来证明）【展示火情】【试试火力】1.下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）x210x+25；4a2+4a1；x22x1；A 1个 B 2个 C 3个 D 4个考点：因式分解-运用公式法分析：分别利用完全平方公式分解因式得出即可解答：解：x210x+25=（x5）2，符合题意；4a2+4a1无法用完全平方公式因式分解；x22x1无法用完全平方公式因式分解；=（m2m+）=（m）2，符合题意；无法用完全平方公式因式分解故选：B点评：此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键2.先化简，再求值：已知，其中x=2，y=0.5已知x25x14=0，求（x1）（2x1
10、）（x+1）2+1的值考点：整式的混合运算化简求值分析：首先对括号内的式子利用完全平方公式以及平方差公式计算，合并同类项，然后进行整式的除法运算即可；首先利用多项式的乘法法则以及完全平方公式计算，然后合并同类项，最后把已知的式子化成x25x=14，代入求值即可解答：解：原式=（4x2y28xy+44+x2y2）xy=（5x2y28xy）xy=20xy32当x=2，y=0.5时，原式=2020.532=2032=12；（x1）（2x1）（x+1）2+1=2x23x+1x22x1+1=x25x+1当x25x14=0时，即x25x=14，则原式=14+1=15点评：本题主要考查完全平方公式以及平方差
11、公式的利用，熟记公式并灵活运用是解题的关键【把握火苗】乘积 字母 数字 指数的和 和 次数最高 多项式 相同 相同 同类 系数 不改变 改变 am+n amn anbn am-n 系数 指数 相加 mambmc 相加 mambnanb 指数 相加 a2-b2 a22abb2 乘积 m(a+b+c) (a+b)(a-b) (ab)2 提公因式 公式法【冰火不容】1. （2017张家界）因式分解：x3x=x（x+1）（x1）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式=x（x21）=x（x+1）（x1），故答案为：x（x+1）（x1）2.
12、（2017江苏徐州）已知a+b=10，ab=8，则a2b2=80【考点】4F：平方差公式【分析】根据平方差公式即可求出答案【解答】解：（a+b）（ab）=a2b2，a2b2=108=80，故答案为：803. （2017浙江衢州）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+6【考点】4G：平方差公式的几何背景【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解【解答】解：拼成的长方形的面积=（a+3）232，=（a+3+3）（a+33），=a（a+6），拼成的长方形一边长为a，另一边长是a+6故答案为：a+64. （2017宁德）化简并求值：x（x2）+（x+1）2，其中x=2【考点】4J：整式的混合运算化简求值【专题】11 ：计算题；512：整式【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=x22x+x2+2x+1=2x2+1，当x=2时，原式=8+1=9【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键5. 下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题解：x（x+2y）
