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1、 考压轴题的研究与讲解 兰 琦 2016 年 6 23 录 1引 2 1 1如何研究压轴题 2 1 2如何讲解压轴题 2 2函数7 2 1含参 次函数的讨论 7 2 2参数分离 9 2 3优雅的作图 11 2 4函数与 程 13 3不等式14 3 1必要条件探路 14 3 2 次函数专题 15 3 3 形 元 次 17 4向量20 4 1等系数和线 20 4 2运动的转化和分解 20 4 3极化恒等式 23 5导数25 5 1端点分析 25 5 2lnx 的应对策略 28 5 3常 对数不等式 32 6圆锥曲线33 6 1圆锥曲线的常 性质 33 6 2合理设参 38 6 3化齐次联 40 6
2、 4仿射变换 42 7后记44 1 1引 2 1引 1 1如何研究压轴题 情感不畏难 不贪多 价值观基本功与技巧 题多解 见多识 法论解答 答案 解析 分析 解法 总结 解释 纳 1 2如何讲解压轴题 三个适合适合的学 避免 窍不通 适量的题 有共性 有变化 融会贯通 适度的讲解 讲关键 练实操 触类旁通 四个要素 量 耐 计算 分类讨论能 敏捷 快速试探 精准打击能 智 知识储备 模块重 组能 运 强不息 相信天道佑勤 已知定义在 R 上的函数 f x 2x b 2x 1 a 是奇函数 则 a b 引例 1引例 1 般解法 f 0 0 f 1 f 1 0 量型训练 x R f x f x 0
3、 敏捷型训练lim x f x lim x f x 0 已知 ABC 中 BD 1 3 BC AE 1 2 AC AD 与 BE 交于点 P 且 AP AD 则 引例 2引例 2 量型训练设 BP BE 有 AP 2 3 AB 1 3 AC AP 1 AB 1 3 AC 解得 3 4 1 2 敏捷型训练如左图 过 D 作 DF BE 交 AC 于 F 则 EF 1 3EC 1 3AE 于是 3 4 1引 3 BC A D E F P BC A D E P B 2 C 1 A 1 D 3 E 2 P 知识型训练如中图 由梅涅劳斯定理 有 AP PD DB BC CE EA 1 于是 AP PD
4、BC DB EA CE 3 实战优化 如右图 在 A B C 上标注 a b c 使得 EC EA a c DC DB b c 则 AP PD b c c c a b c a 这就相当于在 D 点位置填 b c 即可 杠杆原理 解题 证明 1 1 3 1 1 32 1 1 3n 1 2 引例 3引例 3 量型训练由于 lnx x 1 于是 lnx 1 1 x 因此 ln 1 1 3n 1 1 1 1 3n 1 3n 1 于是只需要证明 1 3 1 1 32 1 1 3n 1 ln2 LHS 1 2 1 8 1 28 1 34 33 1 35 34 1 3n 3n 1 1 2 1 8 1 28
5、1 54 1 1 3 0 考虑到归纳基础 需要 a1 1 6 考虑递推证明 需要 1 2 an 1 1 3n 1 1 2 an 1 即 an an 1 1 3n 1 1 2 an 因此取 a1 1 6 进 an 1 2 3n 即可 知识型训练直接利 伯努利不等式 有 LHS 1 1 3 1 32 1 3n 1 1 3 1 1 3 1 2 更进 步 Pentagonal number theorem 1 x 1 x2 1 x3 1 x x2 x5 x7 x12 x15 x22 x26 k 1 1 k 1 x2k 1 xk 3k 1 2 我们知道 平 上到两个定点的距离之 为定值 0 且 1 的点
6、的轨迹是圆 这个圆称为阿 波罗尼斯圆 当两个定点 A 和 A 已知时 可以先在直线 AA 上找到两点 M N 使得 MA MA NA NA 然后作以 MN 为直径的圆 即得对应的阿波罗尼斯圆 引例 4引例 4 反过来 如果已知其中 个定点 A 以及动点 P 对应的阿波罗尼斯圆 也可以确定另 个定点 A 的 位置 如图 AA NOM P 设阿波罗尼斯圆的圆 为 O 半径为 r OA d OA d 则有 d r r d d r r d 其中 PA PA 容易解得 d r r d 1引 5 也就是说 r 是 d 和 d 的等 中项 且公 为 上述结论形式优美 容易记忆 在很多时候可以 便的解决问题
7、例 1已知 P 点在边长为 2 的正 形 ABCD 的内切圆上运动 则 AP 2BP 的最 值是 解尝试应 阿波罗尼斯圆处理系数 连接对 线 AC 设其中点为 O 则可知在此问题中 r 1 d 2 于是 d 2 2 且 2 AB CD O P A 因此 AP 2BP 2 A P BP 2 A B 在 OA B 中应 勾股定理可得 A B OA 2 OB2 5 2 因此所求的最 值为 5 例 2已知 P 在边长为 2 的正 ABC 的内切圆上运动 则 AP 2PB 的最 值是 解与例 1 类似 r 3 3 d 2 3 3 于是 d 3 6 且 2 AB C O A P 因此 AP 2PB 2 A
8、 P BP 2 A B 在 OA B 中应 余弦定理可得 A B OA 2 OB2 OA OB 7 2 因此所求的最 值为 7 1引 6 作为练习 下 的已知条件命题 已知点 P 在圆 O x2 y2 4 上运动 A 4 0 B 4 4 求的最 值 O P A B x y 4 答案是 PA 2PB 或 2 2PA PB 2函数7 2函数 2 1含参 次函数的讨论 例题 2 1 已知函数 f x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 函数 g x ax2 x 1 若函数 y f x g x 恰好有 2 个不同零点 则实数 a 的取值范围是 解 0 0 1 参见每 题 299 分离参数根据题意
9、程 f x ax2 x 1 有两根 即 ax2 x 1 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 有两根 注意到 x 0 不是 程的根 于是问题即 程 a 1 x 2 x2 x 1 2 x 1 x2 1 x 0 或 0 x 1 1 x x 1 有两根 作换元 t 1 x 则上述 程右边 g t t 2t2 1 t 0 2t t2 t 1 t 0 0 时 x1 x2 0 a 0 y1 y2 0 时 则 x 的取值范围是 2 集合 An中有个元素 解 10 10 1 1 2n 2 1 2n 2 考虑函数 g x x x 即 g x k x x k k 1 1 1 2 2 4 n n 1 n n2 n
10、 1 n 1 2 O x y 第 层次 基本初等函数的图象 特征点 渐近线 单调性 第 层次 简单初等函数的图象 正 例函数 反 例函数 次函数 次函数 绝对值函数 多绝 对值函数 对勾函数 次分式函数 第三层次 图象变换 平移 伸缩 对称 翻折 旋转 第四层次 知识储备 y 1 f x y f x y sinx f x 应该掌握的函数图象应该掌握的函数图象 2函数12 例题 2 5 已知 f x 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数 且当 x 0 1 时 f x x 1 则 程 f2 x f x x 的解的个数是 解4 个 函数的图象本质就是 程的曲线 根据函数 f x 的奇偶性与周期性
11、作图如下 O x y y f x y2 y x 2 1 6 2 注意到抛物线 y2 y x 以 1 4 1 2 为顶点 以 y 1 2 为对称轴 且经过点 0 0 2 1 6 2 因此抛物线 y2 y x 与函数 y f x 的图象共有 4 个交点 所求的根的个数为 4 例题 2 6 2013 年新课标 I 卷第 16 题改 已知 f x x2 x x2 ax b 满 对 切实数 x 均有 f x f 2 x 则函数 f x 的最 值为 分析多项式函数为偶函数 则不含奇次项 解根据题意 函数 y f x 1 是偶函数 f x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 a x 1 b x2 2 3x
12、g x 其中 g x 是 个 次项系数为 1 的 次多项式 不难得知 g x x2 2 3x 因此 f x 1 x2 2 2 3x 2 x4 5x2 4 9 4 当 x2 5 2 时取得等号 因此函数 f x 的最 值 即函数 f x 1 的最 值 为 9 4 2函数13 例题 2 7 函数 f x 2x log0 5x 1 的零点个数为 A 1B 2C 3D 4 解B 数形结合需谨慎 对于函数 f x logax ax的零点个数 分界点为 e e 当 0 a 0 函数 g x f x 求证 g x 在区间 0 2 上的最 值不 于 1 4 分析第 3 小题在第 2 小题的基础上可以画出极端情
13、形 3不等式16 O x y y 1 4 y 1 4 1 2 3 2 2 在此基础上利用函数 f x 在 x 0 1 2 3 2 2 处的函数值结合反证法证明结论即可 解 3 反证法 假设 g x 在区间 0 2 上的最 值 于 1 4 考虑 f 0 1 b f 2 1 2a b f 3 2 1 8 3 2a b f 1 2 1 8 1 2a b 我们有 2 2a f 2 f 0 a 1 4 f 1 2 f 3 2 所以 2f 1 2 2f 3 2 f 2 f 0 3 2 但是 2f 1 2 2f 3 2 f 2 f 0 2 f 1 2 2 f 3 2 f 2 f 0 0 有四个不同的 近零点
14、 则 a 的最 值为 解 1 4 注意从区间长度出发 补充 和差积商 版的韦达定理 O x y 0123 3不等式17 对于 程 ax2 bx c 0 a 0 的两个根 x1 x2 有 x1 x2 b a x1 x2 a x1x2 c a b 2 x 1 x2 x2 x1 2 ac 和差积商 版的韦达定理 和差积商 版的韦达定理 例题 3 7 已知整系数 次 程 ax2 bx c 0 的两个不同实根均在区间 1 2 上 求正整数 a 的最 值 解5 根表 f 1 f 2 利 f 1 f 2 1 和均值不等式得到 a2 16 例题 3 8 每 题 297 已知函数 f x x2 a 其中 a 0
15、 若恰好有两组解 m n 使得 f x 在 定义域 m n 上的值域也为 m n 求实数 a 的取值范围 解 3 4 2 按 m n a 的 关系讨论 3 3 形 元 次 例题 3 9 每 题 408 若正实数 x y 满 2xy 1 2 5y 2 y 2 则 x 1 2y 的最 值为 解 3 2 2 1 联想平 差公式 有 2x 1 y 2 3 2 2 y 3 2 2 y 换元即得 换元为整体代换 的是省纸 换元为代数变形 收效是结构 换元法换元法 3不等式18 例题 3 10 每 题 422 设 Sn是各项均为 零实数的等差数列 an 的前 n 项和 若对于给定的正整 数 n n 1 和正
16、数 M 数列 an 满 a2 1 a2n 1 M 则 Sn 的最 值为 解 n2 1 2 M 注意选 a1 an 1为等差数列的 基底 它表 其他的各种量 设 a1 an a1 an 1 则 2a1 n 1 d a1 n d 因此解得 n 1 n n 1 n 因此 Sn n a1 an 2 n 1 a1 n 1 an 1 2 n 1 2 n 1 2 a2 1 a2n 1 2 n2 1 M 2 所以 Sn的最 值为 n2 1 M 2 例题 3 11 每 题 467 已知 a b 0 1 求 S a b a 1 b b 1 a 1 a 1 b 的最 值 分析 元对称代数式都可以用 a b 和 ab 表示 然后可以尝试放缩换元 解 5 5 11 2 先进 代数变形 有 S a b a 1 a b 1 b 1 a2 1 b2 1 a 1 b 1 ab a2b2 ab a b 1 1 ab 1 ab ab 2 ab 1 1 ab 1 ab 1 ab 当 a b 时取到等号 3不等式19 令 x ab 则 x 0 1 有 ab 1 ab 1 ab x2 x3 1 x 记右侧为函数 f x 则 f
