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1、积分方法总结李利霞摘要：微积分是大学一年级学的基础课，而在以后的课程中，我们会慢慢发现微积分几乎随处都用的到。所以，在这里对积分方法做一个简单的总结。关键字：二重积分 三重积分 曲面积分 曲线积分 散度 旋度一：二重积分对于二重积分比较常用也比较简单，我在这里给出定限方法：如果是X型，则将积分区域全部投影到x轴上，确定x的范围；在x范围内取一点作平行于y轴的射线，与区域的边界的两交点则为对y积分的上下限。同理，可得y型定限方法。对于极坐标要定的上下限。二重积分是积分问题的基础，以后提到的各种积分方法最终都是通过某种方法换做二重积分。下面给出二重积分的例子：；积分区域由围成； y(4,2) 2(
2、1,-1)Y=x-2 0x将积分区域对x轴投影可得x的上下限为0 ,4。在0,1间，做平行与y轴的射线得y轴的范围；在1,4间，同理得y的范围。从而积分式子可以写作：同理，也可以对x先积分，将积分区域投影到y轴上，做平行于x的射线，定x的上下限为；y的范围-1,2。对于极坐标，应先画出在xy坐标上的积分区域，把边界值方程化为极坐标下的方程，定，定r时同样用发射法，从坐标原点发射。（以上方法简称为投影发射法）。二：三重积分（1） 在直坐标系中定限法一：将积分区域投影到其中的一个坐标平面，如xoy面上，得到；做平行与z轴的射线，穿过积分区域时，进入和出来所经过的面分别为；从而三重积分可化为二重积分
3、：。对z积分时将x,y看做常数。定限法二：“先二后一”；将积分区域在z轴投影得到z的取值范围；用平行与xoy面的平面去截积分区域得关于z的面区域。从而三重积分可以化为。在对x，y积分时将z看作常数。（2） 柱坐标计算柱坐标可以看作是直坐标系的一种特殊情况，同样是对一个坐标面投影，柱坐标选用xoy面，只不过得到的区域用极坐标表示，而z坐标不变。（3） 球坐标计算首先给出点P的球坐标与直角坐标的关系：其中，。定限方法：先画出积分区域，把积分区域投影到xoy面上，得到投影区域定的范围；定时只有看颈项与z轴正向的夹角范围（过原点的射线顺时针旋转）；定时，从原点发出射线，进入积分区域与穿出来得到的数值即
4、为上下限。从而得到球坐标下的三重积分：三，曲线积分（1） 标量函数曲线积分（第一型曲线积分）用ds表示弧长，则；若为极坐标，则。若，是平面曲线，则。若，是空间曲线，则。用表示弧长。（2） 向量值函数曲线积分（第二型曲线积分）具有方向性；，；所以曲线的单位切向量为，指向参数增大的方向。四：曲面积分（1） 标量函数曲面积分（第一类）根据合理假设，小曲面块的面积可以被看作以面内两切向量为边的四边形的面积。两切向量分别以x，y为参数，可以得到，所以；，。所以可得面块的大小为： ；所以得到对于第一类曲面积分，化为二重积分。（2） 向量值函数曲面积分（第二类）对于向量值函数，面元具有方向性，所以平面法向量
5、为面内两切向量的矢量积，由可知；其中。单位切向量为；分别是x,y,z轴与平面的法向量的夹角。所以对于向量值函数曲面积分有：；适用于逐片光滑的有向曲面，以及封闭光滑曲面。另外，如果把曲面面积的微分元分别投影到oyz,ozx,oxy面上，并把垂直投影一次记为：；可得：。有时候我们会遇到的不完全形式，即缺省某一项时。当取正号时则为对曲面的上侧积分，或者对封闭曲面的外侧积分。将曲面对xoy轴投影，则式可以有另一种形式这将不熟悉的曲面积分换做我们熟悉的三重积分，最终再换做二重积分，从而得到积分结果。五：格林公式与斯托克斯公式1. 格林公式对于闭合曲线的第二型积分，若函数在围线l（单一围线或者复合围线）围
6、成的有界闭区域内连续可微分，则我们可以用格林公式。其中D是闭合曲线围成的闭区域。通过格林公式可以将曲线积分转换成闭区域的二重积分，从而起到化简的作用。值得强调的是函数必须在指定区域连续可微分，否则就要用补围线的方法，把函数不满足条件的点剔除，计算时再将其补上。如闫站立编的微积分第二版中的一个例子：设为不通过原点（0,0）的简单闭曲线，求曲线积分。可知除了原点外函数在围线所围区域有连续偏导数。所以需要补曲线为足够小的圆使完全含在内，则与构成一个复合围线。从而；从而利用格林公式计算第二项结果为0，所以；用极坐标可得积分结果为。2. 斯托克斯公式设S是以简单闭曲线（自身不相交的光滑或者逐段光滑的闭曲
7、线）为边界的光滑或者逐片光滑的双侧曲面，并且指定的一侧与边界曲线的方向是一致的（符合右手定则）。若函数在包含S的某个（空间）区域上连续可微分，则有斯托克斯公式：六：旋度与散度1. 曲线积分与路径无关的等价条件有：（1） 存在闭合曲线使得；（2）存在位势函数使得或者，即u的导数；（3）在闭合曲线所围区域处处成立。只需满足以上条件中的一个就可以得到函数积分与路径无关。2. 关于空间向量场，它为保守场的条件与上述大致相同，存在函数，；或者在区域内有。定义旋度，；所以斯托克斯公式可以记为。环量（循环量）即是沿内一闭曲线的曲线积分值；表示在区域内某点处有一个“旋涡”，对于旋度为0的向量场函数为无旋场，即
8、保守场。3. 奥-高公式设是以光滑或逐片光滑曲面S围成的有界闭区域。若函数及其偏导数在闭区域上连续，则是S上点P处的外法线方向的单位向量。3. 定义向量函数的通量，从曲面S另一侧穿过曲面到单位法向量指向的一侧的通量即为曲面积分。所以把向量场穿过封闭曲面S的通量与S包围的立体体积之比称为通量密度。当S包围的立体收缩到点M时的极限，称为向量场在点M的散度。在直角坐标系中，根据奥-高公式和三重积分的中值定理可得：；奥-高公式向量形式为：。根据定义，散度为通量变化率，通量大于0表示从曲面S流出的量大于流入的。如果通量改变为0，则向量场为无源场，其满足的充要条件是。七：总结算符所以，旋度；散度；以上是关于积分的简单总结，主要是由于目前大三的课程用到积分很多，大二的课程应该也是。这里只是做了一个小结，供大家复习方法之用，所以没有例题。参考文献1 闫站立.微积分.下册,第二版z.北京：高等教育出版社，2007.11
