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1、第 1 页共 7 页 课时跟踪检测 六十六 几何概型 一抓基础 多练小题做到眼疾手快 1 利用计算机产生0 1 之间的均匀随机数a 则使关于x 的一元二次方程x 2 x a 0 无实根的概率为 A 1 2 B 1 4 C 3 4 D 2 3 解析 选 C要使 x2 x a 0 无实根 则 1 4a1 4 则所求的概率等于 1 1 4 1 0 3 4 2 设不等式组 0 x 2 0 y 2 表示的平面区域为D 在区域D 内随机取一个点 则此点 到坐标原点的距离大于2 的概率是 A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 解析 选 D如图所示 区域D 为正方形OABC 及其内部 且区 域 D 的面积
2、S 4 又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域 易知该阴影部分的面积S阴 4 所求事件的概率P 4 4 3 在区间 1 2 上随机取一个数x 则 x 1 的概率为 A 2 3 B 1 4 C 1 3 D 1 2 解析 选 A因为 x 1 所以 1 x 1 所以所求的概率为 1 1 2 1 2 3 4 已知平面区域D x y 1 x 1 1 y 1 在区域D 内任取一点 则取到 的点位于直线y kx k R 下方的概率为 第 2 页共 7 页 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 3 4 解析 选 A由题设知 区域D 是以原点为中心的正方形 直线y kx 将其面积平分 如
3、图 所求概率为 1 2 5 如图 天宫一号 运行的轨迹是如图的两个类同心圆 小圆的半径为2 km 大圆 的半径为4 km 卫星 P 在圆环内无规则地自由运动 运行过程中 则点 P 与点 O 的距离小 于 3 km 的概率为 A 1 12 B 5 12 C 1 3 D 1 5 解析 选 B根据几何概型公式 小于3 km 的圆环面积为 3 2 22 5 圆环总面积 为 4 2 22 12 所以点 P 与点 O 的距离小于3 km 的概率为P A 5 12 5 12 二保高考 全练题型做到高考达标 1 2016 宁波一模 已知实数a 满足 3 aP2B P1 P2 C P1 P2D P1与 P2的大
4、小不确定 解析 选 C若 f x 的值域为R 则 a2 4 0 得 a 2 或 a 2 故 P1 2 3 4 3 4 2 4 3 3 7 若 f x 的定义域为 R 则 a 2 4 0 得 2 a 2 故 P 2 2 2 4 3 4 7 所 以 P1 P2 第 3 页共 7 页 2 2016 石家庄一模 在区间 0 1 上任取两个数 则这两个数之和小于 6 5的概率是 A 12 25 B 16 25 C 17 25 D 18 25 解析 选 C设这两个数分别是x y 则总的基本事件构成的区 域是 0 x 1 0 y 1 确定的平面区域 所求事件包含的基本事件构成的 区域是 0 x 1 0 y
5、1 x y 6 5 确定的平面区域 如图所示 阴影部分的面积 是 1 1 2 4 5 2 17 25 所以这两个数之和小于 6 5的概率是 17 25 3 2015 山西四校联考 在面积为S的 ABC 内部任取一点P 则 PBC 的面积大于 S 4的 概率为 A 1 4 B 3 4 C 4 9 D 9 16 解析 选 D设 AB AC 上分别有点D E 满足 AD 3 4AB 且 AE 3 4 AC 则 ADE ABC DE BC 且 DE 3 4BC 点 A 到 DE 的距离等 于点 A 到 BC 的距离的 3 4 DE 到 BC 的距离等于 ABC 高的 1 4 当动点 P 在 ADE 内
6、时 P 到 BC 的距离大于DE 到 BC 的距离 当 P 在 ADE 内部运动时 PBC 的面积大于 S 4 所求概率为 S ADE S ABC 3 4 2 9 16 4 2016 石家庄模拟 已知 O A B 三地在同一水平面内 A 地在 O 地正东方向2 km 处 B 地在 O 地正北方向2 km 处 某测绘队员在A B 之间的直线公路上任选一点C 作为 测绘点 用测绘仪进行测绘 O 地为一磁场 距离其不超过3 km 的范围内会对测绘仪等 电子仪器形成干扰 使测量结果不准确 则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 A 1 2 B 2 2 C 1 3 2 D 1 2 2 第 4 页共 7 页
7、 解析 选 D由题意知在等腰直角三角形OAB 中 以 O 为圆心 3为半径的圆截AB 所得的线段长为2 而 AB 2 2 故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1 2 2 2 1 2 2 5 2016 吉林实验中学 如图 设区域D x y 0 x 1 0 y 1 向区域内随机投一点 且投入到区域内任一点都是等可能的 则点落到阴 影区域 M x y 0 x 1 0 y x 3 内的概率是 A 1 4 B 1 3 C 2 5 D 2 7 解析 选 A区域 D 的面积 S1 1 阴影部分的面积S2 0 1 x 3 dx 1 4x 4 1 0 1 4 则由几何 概型的概率公式可得点落入到阴影区域M 的概
8、率 P 1 4 1 1 4 6 2016 鞍山调查 一只昆虫在边分别为5 12 13 的三角形区域内随机爬行 则其到三 角形顶点的距离小于2 的地方的概率为 解析 如图所示 该三角形为直角三角形 其面积为 1 2 5 12 30 阴影部分的面积为 1 2 2 2 2 所以所求概率为 2 30 15 答案 15 7 2016 湖北七市联考 AB 是半径为1 的圆的直径 M 为直径 AB 上 任意一点 过点M 作垂直于直径AB 的弦 则弦长大于3的概率是 解析 依题意知 当相应的弦长大于3时 圆心到弦的距离小于1 2 3 2 2 1 2 因此相应的点M 应位于线段AB 上与圆心的距离小于 1 2的
9、地方 所求的概率等于 1 2 答案 1 2 8 2016 银 川 一 模 已 知 在 圆 x 2 2 y 2 2 8 内 有 一 平 面 区 域E x 4 0 y 0 mx y 0 m 0 点 P是圆内的任意一点 而且点 P 出现在任何一点处是等可能的 若 使点 P 落在平面区域E 内的概率最大 则m 解析 如图所示 当 m 0 时 平面区域E 阴影部分 的面积最大 此时点 P 落在平面区域E 内的概率最大 第 5 页共 7 页 答案 0 9 甲 乙两辆车去同一货场装货物 货场每次只能给一辆车装货物 所以若两辆车同 时到达 则需要有一车等待 已知甲 乙两车装货物需要的时间都为20 分钟 倘若甲
10、 乙 两车都在某1 小时内到达该货场 在此期间货场没有其他车辆 求至少有一辆车需要等待装 货物的概率 解 设甲 乙货车到达的时间分别为x y 分钟 据题意基本事件空 间可表示为 x y 0 x 60 0 y 60 而事件 有一辆车等待装货 可表示为 A x y 0 x 60 0 y 60 x y 20 如图 据几何概型可知其概率等于P A S阴影 S正方形 60 60 2 1 2 40 40 60 60 5 9 10 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干 其中标号为0 的小球 1 个 标号为1 的小球 1 个 标号为2 的小球 n 个 若从袋子中随机抽取1 个小球 取到标号为2 的小球 的概
11、率是 1 2 1 求 n 的值 2 从袋子中不放回地随机抽取2 个小球 记第一次取出的小球标号为a 第二次取出 的小球标号为b 记 a b 2 为事件A 求事件A 的概率 在区间 0 2 内任取 2 个实数 x y 求事件 x2 y 2 a b 2 恒成立 的概率 解 1 依题意 n n 2 1 2 得 n 2 2 记标号为0 的小球为s 标号为1 的小球为t 标号为2 的小球为k h 则取出2 个小球的可能情况有 s t s k s h t s t k t h k s k t k h h s h t h k 共 12 种 其中满足 a b 2 的有 4 种 s k s h k s h s 所
12、以所求概率为P A 4 12 1 3 记 x2 y2 a b 2恒成立 为事件 B 则事件 B 等价于 x2 y 2 4恒成立 x y 可以看成平面中的点的坐标 则全部结果所构成的区域为 x y 0 x 2 0 y 2 x y R 而事件 B 构成的区域为B x y x 2 y2 4 x y 所以所求的概率为 P B 第 6 页共 7 页 1 4 三上台阶 自主选做志在冲刺名校 1 2016 陕西质检 在区间 内随机取两个数分别记为a b 则使得函数f x x 2 2ax b2 有零点的概率为 A 7 8 B 3 4 C 1 2 D 1 4 解析 选 B若函数 f x 有零点 则4a2 4 b
13、2 0 即 a2 b 2 所有事件是 a b a b S 2 2 4 2 而满足条件的事件是 a b a2 b2 s 4 2 2 3 2 则概率 P 3 2 4 2 3 4 2 在区间 0 10 上任取一个实数a 使得不等式2x 2 ax 8 0 在 0 上恒成立的 概率为 解析 要使 2x2 ax 8 0 在 0 上恒成立 只需ax 2x2 8 即 a 2x 8 x在 0 上恒成立 又 2x 8 x 216 8 当且仅当x 2 时等号成立 故只需 a 8 因此 0 a 8 由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 8 0 10 0 4 5 答案 4 5 3 已知向量a 2 1 b x y 1
14、若 x 1 0 1 2 y 1 0 1 求向量a b 的概率 2 若 x 1 2 y 1 1 求向量a b的夹角是钝角的概率 解 1 设 a b 为事件 A 由 a b 得 x 2y 基本事件空间为 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 2 1 共包含12 个基本事件 其中A 0 0 2 1 包含 2 个基本事件 则P A 2 12 1 6 即向量 a b 的概率为 1 6 2 因为x 1 2 y 1 1 则满足条件的所有基本事件所构 成的区域如图为矩形ABCD 面积为S1 3 2 6 设 a b 的夹角是钝角 为事件B 由 a b 的夹角是钝角 可 得 a b 0 即 2x y 0 且 x 2y 事件 B 包含的基本事件所构成的区域为图中四边形AEFD 面积 S2 1 2 1 2 3 2 2 2 第 7 页共 7 页 则 P B S 2 S1 2 6 1 3 即向量 a b 的夹角是钝角的概率是 1 3
