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1、07 立体几何第一章 空间几何体 1.棱柱 1.1棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： 四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体1.3棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.5侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的
2、以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：（其中c为底面周长，h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S圆柱侧=；S圆柱全=，V圆柱=S底h=（其中r为底面半径，h为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是
3、底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：为直角三角形）3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。3.4面积、体积公式：S正棱锥侧=，S正棱锥全=，V棱锥=.（其中c为底面周长，侧面斜高，h棱锥的高）4.圆锥4.1圆锥以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4
4、.2圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；轴截面是等腰三角形；如右图：如右图：.4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4面积、体积公式：S圆锥侧=，S圆锥全=，V圆锥=（其中r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）5.棱台5.1棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.5.2正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形都是直角梯形棱台经常补成棱锥研究.如右图：，注意考虑相似比.5.3棱台
5、的表面积、体积公式：侧，（其中是上，下底面面积，h为棱台的高）6.圆台6.1圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 6.2圆台的性质：圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；圆台的轴截面是等腰梯形；圆台经常补成圆锥来研究。如右图：，注意相似比的应用.6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4圆台的表面积、体积公式：，V圆台，（其中r，R为上下底面半径，h为高）7.球7.1球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于
6、截面；（其中，球心到截面的距离为d、球的半径为R、截面的半径为r）7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.注：球的有关问题转化为圆的问题解决.7.4球面积、体积公式：（其中R为球的半径）（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视
7、图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”. （2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3.直观图： 结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.解决两种常见的题型时应注意：（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.（2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。第二章 点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的基本性质1.平面无限延展，无边界形语言，文字语言，符号语言的转化：5原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（二）空间图形
8、的位置关系1.空间直线的位置关系：1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线； （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。图形语言： 符号语言：1.4异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.如右图，在空间任取一点O，过O作，则所成的角为异面直线所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上
9、，形成异面直线所成的角.2.直线与平面的位置关系： 图形语言： 3.平面与平面的位置关系：（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：定义：直线与平面无公共点.判定定理：（线线平行线面平行）性质定理：（线面平行线线平行）判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：（用于判断）；（ii）判定定理：“线线平行面面平行”（用于证明）；（iii）“面面平行线面平行”（用于证明）；（4）（用于判断）；3.面面平行：定义：；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： 【如下图】 图 图推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线
10、，那么这两个平面互相平行符号表述： 【如上图】判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.【如右图】判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论（常用）（3）判定2面面平行的性质：（1）（面面平行线面平行）；（2）；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。线面平行的关系图：（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意都有，且，则.判定定理：（线线垂直线面垂直）性质：（1）（线面垂直线线垂直）；（2）；证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定
11、定理（常用）；（3）（较常用）；（4）；（5）（面面垂直线面垂直用）；3.3面面垂直（1）定义：若二面角的平面角为，则；（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）（3）性质：若，二面角的一个平面角为，则；（面面垂直线面垂直）；. 线面垂直的关系图：二、立体几何常见题型归纳例讲1、概念辨析题：（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。（1）基础知识网络：平行关系平面几何知识线线平行线面平行面面平行垂直关系平面几何知识线线垂直线面垂直面面垂直判定性质判定推论性质判定判定性质判定面面垂直定义1.2.3.4.5.平行与垂直关系可互相转化原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
