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1、4 2 3 任意四边形 梯形与相似模型题库page 1 of 17 模型三蝴蝶模型 任意四边形模型 任意四边形中的比例关系 蝴蝶定理 S4 S3 S2 S1 O D CB A 1243 SSSS 或者 1324 SSSS 1243 AO OCSSSS 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径 通过构造模型 一方面可以使不规则四边 形的面积关系与四边形内的三角形相联系 另一方面 也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 例 1 小数报竞赛活动试题 如图 某公园的外轮廓是四边形ABCD 被对角线AC BD 分成四个部分 AOB 面积为 1 平方千米 BOC面积为 2 平方千米 COD
2、的面积为3 平方千米 公园由陆地面积 是 6 92 平方千米和人工湖组成 求人工湖的面积是多少平方千米 O D C B A 分析 根据蝴蝶定理求得3 121 5 AOD S 平方千米 公园四边形ABCD的面积是1231 57 5平 方千米 所以人工湖的面积是7 56 920 58平方千米 巩固 如图 四边形被两条对角线分成4 个三角形 其中三个三角形的面积已知 求 三角形BGC的面积 AG GC A B C D G 32 1 解析 根据蝴蝶定理 123 BGC SV 那么6 BGC SV 根据蝴蝶定理 12 361 3AG GC 任意四边形 梯形与相似模型 4 2 3 任意四边形 梯形与相似模
3、型题库page 2 of 17 例 2 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O 如图所示 如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的 面积的 1 3 且2AO 3DO 那么CO的长度是DO的长度的 倍 A BC D O H G A BC D O 解析 在本题中 四边形ABCD为任意四边形 对于这种 不良四边形 无外乎两种处理方法 利用已 知条件 向已有模型靠拢 从而快速解决 通过画辅助线来改造不良四边形 看到题目中给出条 件 1 3 ABDBCD SS VV 这可以向模型一蝴蝶定理靠拢 于是得出一种解法 又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系 转化为边的关系 可以得到第二种解法 但是第二种解
4、法需要一个中介来改 造这个 不良四边形 于是可以作 AH垂直BD于H CG垂直BD于G 面积比转化为高之比 再应用结论 三角形高相同 则面积之比等于底边之比 得出结果 请老师注意比较两种解法 使 学生体会到蝴蝶定理的优势 从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 解法一 1 3 ABDBDC AO OCSS 236OC 6 32 1OC OD 解法二 作AHBD于H CGBD于G 1 3 ABDBCD SS 1 3 AHCG 1 3 AODDOC SS 1 3 AOCO 236OC 6 32 1OC OD 例 3 如图 平行四边形 ABCD的对角线交于O点 CEF OEF ODF BOE 的面
5、积依次是2 4 4 和 6 求 求OCF 的面积 求GCE 的面积 O G F E D CB A 解析 根据题意可知 BCD 的面积为244616 那么BCO 和CDO的面积都是1628 所以OCF 的面积为844 由于 BCO 的面积为8 BOE 的面积为 6 所以 OCE 的面积为 862 根据蝴蝶定理 2 41 2 COECOF EG FGSS 所以 1 2 GCEGCF SSEG FG 那么 112 2 1233 GCECEF SS 例 4 图中的四边形土地的总面积是52 公顷 两条对角线把它分成了4 个小三角形 其中2 个小三角形 的面积分别是6 公顷和 7 公顷 那么最大的一个三角
6、形的面积是多少公顷 4 2 3 任意四边形 梯形与相似模型题库page 3 of 17 7 6 7 6 E D C BA 解析 在 ABEV CDEV 中有 AEBCED 所以ABEV CDEV 的面积比为 AEEB CEDE 同 理有ADEV BCEV的面积比为 AEDEBEEC 所以有 ABE SV CDE SV ADE S V BCE SV 也就是 说在所有凸四边形中 连接顶点得到2 条对角线 有图形分成上 下 左 右4 个部分 有 上 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积 即6 ABE SV 7 ADE SV 所以有ABEV与ADEV的面积 比为7 6 ABE SV 7 3921 6
7、7 公顷 ADE SV 6 3918 67 公顷 显然 最大的三角形的面积为21 公顷 例 5 2008 年清华附中入学测试题 如图相邻两个格点间的距离是1 则图中阴影三角形的面积 为 C A B D O C A B D 解析 连接AD CD BC 则可根据格点面积公式 可以得到ABC的面积为 4 112 2 ACD的面积为 3 313 5 2 ABD的面积为 4 213 2 所以 2 3 54 7 ABCACD BO ODSS 所以 4412 3 471111 ABOABD SS 巩固 如图 每个小方格的边长都是1 求三角形ABC的面积 A B C D E 解析 因为 2 5BD CE 且B
8、D CE 所以 2 5DA AC 5 25 ABC S 510 2 77 DBC S 例 6 2007 年人大附中考题 如图 边长为 1 的正方形ABCD中 2BEEC CFFD 求三角形AEG的 面积 4 2 3 任意四边形 梯形与相似模型题库page 4 of 17 A BC D E F G A BC D E F G 解析 连接EF 因为2BEEC CFFD 所以 1111 23212 DEFABCDABCD SSS WW 因为 1 2 AEDABCD SSW 根据蝴蝶定理 11 6 1 2 12 AG GF 所以 6613 6 77414 AGDGDFADFABCDABCD SSSSS
9、WW 所以 1322 21477 AGEAEDAGDABCDABCDABCD SSSSSS WWW 即三角形AEG的面积是 2 7 例 7 如图 长方形 ABCD中 2 3BE EC 1 2DFFC 三角形 DFG的面积为2平方厘米 求长 方形ABCD的面积 A BC D E F G A BC D E F G 解析 连接AE FE 因为 2 3BE EC 1 2DFFC 所以 3111 53210 DEFABCDABCDSSSV 长方形长方形 因为 1 2 AEDABCDSSV 长方形 11 5 1 2 10 AG GF 所以510AGDGDFSSVV 平方厘米 所以12 AFDSV 平 方厘
10、米 因为 1 6 AFDABCD SS V 长方形 所以长方形ABCD的面积是72平方厘米 例 8 如图 已知正方形ABCD的边长为10 厘米 E为AD中点 F为CE中点 G为BF中点 求三角 形BDG的面积 A BC D E F G O A BC D E F G 解析 设BD与CE的交点为 O 连接BE DF 由蝴蝶定理可知 BEDBCD EO OCSS VV 而 1 4 BEDABCD SS VW 1 2 BCDABCD SS VW 所以 1 2 BEDBCD EO OCSS VV 故 1 3 EOEC 4 2 3 任意四边形 梯形与相似模型题库page 5 of 17 由于 F为CE中点
11、 所以 1 2 EFEC 故 2 3EO EF 1 2FO EO 由蝴蝶定理可知 1 2 BFDBED SSFOEO VV 所以 11 28 BFDBEDABCD SSS VVW 那么 111 10106 25 21616 BGDBFDABCD SSS VVW 平方厘米 例 9 如图 在ABC中 已知M N分别在边AC BC上 BM与AN相交于O 若AOM ABO和 BON的面积分别是3 2 1 则MNC的面积是 N M O C B A 解析 这道题给出的条件较少 需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解 根据蝴蝶定理得 3 13 22 AOMBON MON AOB SS S S 设 MON Sx 根
12、据共边定理我们可以得 ANMABM MNCMBC SS SS 3 3 32 2 3 1 2 x x 解得22 5x 例 10 2009 年迎春杯初赛六年级 正六边形 123456 A A A A A A 的面积是2009 平方厘米 123456 B B B B B B 分别 是正六边形各边的中点 那么图中阴影六边形的面积是平方厘米 B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A 5 A4 A3 A2A1 O B6 B5 B4 B3 B2 B1 A6 A5A4 A3 A2A1 解析 如图 设 62 B A 与 13 B A 的交点为O 则图中空白部分由6个与2 3 A OA 一样大小的三角形组成
13、只要求 出了 23A OA 的面积 就可以求出空白部分面积 进而求出阴影部分面积 连接 63A A 61B B 63B A 设 116 AB B 的面积为 1 则 126 B A B 面积为 1 126 A A B 面积为 2 那么 636 A A B 面积为 126 A A B 的2倍 为 4 梯形 1236 A A A A 的面积为224212 263 A B A 的面积为 6 123 B A A 的 面积为2 根据蝴蝶定理 126326 13 1 6 B A BA A B BOA OSS 故 2 3 6 16 A OA S 123 12 7 B A A S 所 以 231236 12 1
14、2 1 7 7 A OA A A A A SS梯形 即 23 A OA 的 面积 为梯形 1236 A A A A 面 积的 1 7 故为六 边形 123456 A A A A A A 面积的 1 14 那么空白部分的面积为正六边形面积的 13 6 147 所以阴影部分面积为 4 2 3 任意四边形 梯形与相似模型题库page 6 of 17 3 200911148 7 平方厘米 4 2 3 任意四边形 梯形与相似模型题库page 7 of 17 板块二梯形模型的应用 梯形中比例关系 梯形蝴蝶定理 A B C D O b a S3 S2 S1 S4 22 13 SSab 22 1324 SSS
15、Sabab ab S的对应份数为 2 ab 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上 下底之间关系互相转换的渠道 通过构造模型 直接应用结 论 往往在题目中有事半功倍的效果 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明 例 11 如图 2 2S 3 4S 求梯形的面积 S4 S3 S2 S1 解析 设 1 S 为 2 a 份 3 S 为 2 b 份 根据梯形蝴蝶定理 2 3 4Sb 所以2b 又因为 2 2Sab 所以 1a 那么 2 1 1Sa 4 2Sab 所以梯形面积 1234 12429SSSSS 或者根 据梯形蝴蝶定理 22 129Sab 巩固 2006 年南京智力数学
16、冬令营 如下图 梯形ABCD的AB平行于CD 对角线AC BD交于O 已 知AOB 与BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米 那么梯形ABCD的面积是 平方厘米 35 25 O AB CD 解析 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 2 25 35 AOBBOC SSaab VV 可 得 5 7a b 再 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 2222 5 725 49 AOBDOCSSab VV 所 以49 DOCSV 平 方 厘 米 那 么 梯 形ABCD的 面 积 为 25353549144 平方厘米 例 12 梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O 已知梯形上底为2 且三角形ABO的面积等于三角 形BOC面积的 2 3 求三角形AOD与三角形BOC的面积之比 4 2 3 任意四边形 梯形与相似模型题库page 8 of 17 O A BC D 解析 根据梯形蝴蝶定理 2 2 3 AOBBOC SSab b VV 可以求出 2 3a b 再根据梯形蝴蝶定理 2222 2 34 9 AODBOC SSab VV 通过利用已有几何模型 我们轻松解决了这个问题 而没有像以前一样 为了某个条