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1、第十四章幂级数习题课 一 疑难解析与注意事项 1 如何求缺项幂级数的收敛半径 答 如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数 对这种幂 级数 不能直接用公式 1 limlim n n n nn n a a a 常用方法是 1 进行变量替换 将原幂级数变为一个无缺项的幂级数 计算出后一幂级数的收敛半 径 再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径 例如幂级数 2 1 1 2 n n n x 可令 2 yx 化为幂级数 1 1 2 n n n y 而幂级数 1 1 2 n n n y 的收 敛半径为2R 从而当 2 2x时 原幂级数收敛 当 2 2x时 原幂级数发散 由此推
2、出原幂级数的收敛半径为2R 2 对缺项幂级数需要按照类似于定理14 2 来求 例 如 求 幂 级 数 2 2 02 n n n x 缺 项 幂 级 数 的 收 敛 半 径 对 于 幂 级 数 2 2 02 n n n x 因 为 22 2 22 2 2 2 lim 4 2 n n n n n x x x 当 2 1 4 x 时 即2x 2 2 02 n n n x 收敛 则原来级数绝对收敛 当 2 1 4 x 时 即2x 2 2 02 n n n x 发散 则原来级数发散 所以收敛半径 2R 2 如何求幂级数的收敛域 答 1 首先求幂级数的收敛半径R 2 写收敛区间 R R 3 讨论端点处的收
3、敛性 即讨论 0 n n n a R 0 n n n aR 的收敛性 如果两个都收敛 则幂级数的收敛域为 R R 如果两个都发散 则收敛域为 R R 如果其中一个收敛 一个发散 则收敛域为 R R 0 n n n aR 收敛 R R 0 n n n a R 收敛 3 幂级数在RR 内每一点都绝对收敛 那么在端点处敛散性如何 答 1 幂级数在RR 端点处可能收敛可能发散 例如幂级数 n x n 的收敛区间是1 1 在端点 1 处 级数 1 n 发散 在端点1处级 数 1 n n 收敛 收敛域是1 1 2 如果是收敛 可能是绝对收敛 可能是条件收敛 n x n 在端点1处是条件收敛 2 n x n
4、 收敛域是1 1 在端点 1 与1处都是绝对收 敛的 4 幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径 收敛区间 但收敛域相 同吗 答 不一定 例如 n x收敛域为1 1 但逐项积分和幂级数为 1 1 n x n 收敛域为 1 1 设幂级数 0 n n n a x 1 1 n n n na x 1 01 n n n x a n 收敛域分别是 12 D DD 则有 12 DDD 如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化 则变化的只能是收敛区 间两个端点处的收敛性 一般来说 逐项求导后 系数由 n a变为 n na 不会使收敛区间端 点处的收敛性变好 而逐项求积后 系数由 n
5、a变为 1 n a n 不会使收敛区间端点处的收敛性 变坏 5 如何求幂级数的和函数 答 首先求出幂级数的收敛半径与收敛域 然后可通过以下几种方法求 幂级数的和函数 1 变量替换法 通过变量替换 化为一较简单的幂级数 2 拆项法 将幂级数分拆成两个 或几个 简单幂级数的和 3 逐项求导法 通过逐项求导得出另一幂级数 而此幂级数的和函数是不难求得 的 然后再通过牛顿莱布尼兹公式 得到原幂级数的和函数 4 逐项积分法 通过逐项求积得出另一幂级数 而此幂级数的和函数是可以求得 的 然后再通过求导数 得到原幂级数的和函数 一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化 系数含有 n 向 x e的幂级数展开形式
6、转 化 系数含有2 21 nn向sin cosxx展开形式转化 注意 上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的 而在幂级数的收敛域上却不一 定可行 因此 我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算 由此得到在收敛区 间上的和函数 而求幂级数在其收敛域上的和 还需要讨论在端点的函数值 利用函数在端 点的左 右 连续性来求 还需指出 这里所介绍的方法 仅仅是可供选择的几种途经 对具体问题 常常要综合 利用上述方法 或寻求其他方法才能得到问题的解 6 如何利用幂级数求数项级数的和 答 选择合适的幂级数 使该数项级数为幂级数在某收敛点 0 x 处的值 然后求出幂级 数的和函数S x 则 0S x
7、便是原数项级数的和 7 如何求函数f在 0 x处的幂级数展开式 答 主要有以下两种方法 1 直接法 计算函数f 在 0 x处的各阶导数 0 n fx 写出它的泰勒级数 然后证明 0limxRn n 2 间接法 借助某些基本函数的展开式 通过适当变换 四则运算 逐项求导或者 逐项求积等方法 导出所求函数色幂级数展开式 这是常用的方法 注意求展开式时 一定要写展开式成立的范围 三 典型例题 1 求幂级数的收敛域 1 n x n n 2 2 2 12 2 12 n x n 3 n nn x n 1 2 3 4 n x n 1 2 1 1 5 1 2 2 1 n n n x 解 1 由于 22 1 2
8、 1 2 1 1 limlimlim 2 1 22 21 4 n nnn n annn annnn 因此收 敛半径 1 4R 当4x时 这个级数为 n n n 4 2 2 通项记为 n u 则有 n u 2 4 2 n n n 2 2 22 n n n 12 531 2642 n n 12n 于是 n lim n u 所以当4x时级数 n x n n 2 2 发散 从而可知这个级数的收敛域 为 4 4 2 令2tx 则级数 12 2 12 n x n 转化为 21 21 n t n 缺陷幂级数 下面先求 21 21 n t n 的收敛域 因为 21 2 21 21 limlim01 21 2
9、21 n n nn t t n tnn n 即对任意 t 21 21 n t n 都收敛 因此 21 21 n t n 的收敛域为 因此的收敛域为 3 令 1tx 则级数 n nn x n 1 2 3 转化为 3 2 nn n t n 下面先求 3 2 nn n t n 的收敛域 由于 lim n n n a 3 2 lim3 nn n n n 所以收敛半径 3 1 R 因而级数 3 2 nn n t n 的 收敛区间为 11 33 当 1 3 x时 级数为 n nn n3 1 2 3 n n nn3 211 1 收敛 当 1 3 x时 级数为 3 2 1 3 n nn n 112 3 n n
10、n 12 3 n n 收敛 12 3 n n 收敛 因为 122 lim1 33 n n n n n 1 发散 故 3 2 1 3 n nn n 发散 因此 3 2 nn n t n 的收 敛域为 11 33 级数 n nn x n 1 2 3 的收敛域为 11 1 33 x的解集 即 3 1 3 4 4 因为 n n n 1 n n 1 2 1 1 n n 1 又 n lim11 n n 所以 n lim1 1 2 1 1 n n 从而收敛半径1R 又当1x时 n n n 1 1 2 1 1 lim0 可见级数 n x n 1 2 1 1 在1x时发散 故这个级数的收敛域为 1 1 5 法
11、1 将其看成不缺项的幂级数 4 2 32 2 1 0 2 1 0 xxxx 设 kn kn a k n 2 2 1 12 0 11 2 2 1 nn n n n n xax 2 1 2 1 limlim 2n n n n n n a 2R 法 2 令tx 2 12 1 n n n t收敛半径为2 故2R 法 3 将其视为以x为参数的数项级数或视为一般的函数项级数 22 lim lim 22 1 xx xu xu n n n n 当1 2 2 x 即2x时幂级数收敛 当2x时发散 故2R 即 收 敛 半 径 为2R 收 敛 区 间 是 2 2 当2x时 1 2 2 1 n n n x为 11 1
12、 21 2 n n nn 发散 因此收敛域为2 2 2 应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数 应同时指出它们的收敛域 1 求幂级数 1 n n x n 的和函数 2 求幂级数 11 n n x n 的和函数 3 求幂级数 1 1 n n nx 的和函数 4 求幂级数 1 n n nx 的和函数 5 求幂级数 1253 1253 n xxx x n 的和函数 6 求幂级数 1 1 n n nn x 的和函数 7 求幂级数 1 n n x n 的和函数 注 应用 求幂级数的和函数 思想 一般是通过逐项求导 逐项积分向等比级数转化 假如系数含有 n 向 x e的展 开形式转化 假如系数含
13、有2 21 nn向sin cosxx展开形式转化 必须的知识点 1 等比级数 0 1 1 n n W W 11 n n W W W 2 牛顿莱布尼兹公式 x a ft dtfxf a 3 x a f t dtfx 注意点 1 求和函数时必须先要求收敛域 2 求0f时必须要看级数展开式中第一项 例 设 0 n n n fxa x 先看展开式中第一项是 0 a 因此 0 0fa 常见错误 有些人把0 直接代通项 0 000 n f 设 1 n n n fxa x 先看展开式中第一项是 1 a x 因此00f 3 涉及到除以x时 要讨论x为 0 不为 0 幂级数求和函数步骤 求其收敛半径 R和收敛域
14、D 在收敛区间内求和函数 利用变量替换 逐项求积 逐项求导等方法 假如系数 含有 n 向 x e的展开形式转化 假如系数含有2 21 nn向sin cosxx展开形式转化 收敛域若不是开区间 还须讨论在收敛域端点处的和 若左端点收敛 则在左端点右 连续 若右端点收敛 则在右端点左连续 写出和函数 注明定义域D 解 1 1 求收敛域 11 limlimlim1 n n n n nnn a nn 或 1 1 1 limlim1 1 n nn n a n a n 收敛半径 1 1R 收敛区间1 1 当1x时 1 1 n nn 收敛 当1x时 1 1 nn 发散 因此收敛域为1 1 2 向等比级数转化
15、 分析 因为等比级数系数为1或1 n 而 1 n n x n 的系数为 1 n 要向等比级数转化必须要 把n抵消 此题可以通过逐项求导就可以把n抵消 令 1 n n x fx n 在收敛区间1 1上逐项求导 注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积 1 1 1 1 n n fxx x 00 1 0ln 1 1 xx fxft dtfdtx t 1 1x 当1x时 若幂级数 0 n n n a x 在收敛区间的左 右 端点上收敛 则其和函数也在这 一端点上右 左 连续 11 1limlimln 1ln 2 xx ffxx 2 1 求收敛域 收敛域为1 1 2 向等比级数转化 分析 要向等比级数
16、转化 必须要把系数中的1n抵消 但是只有 1n x 的求导才能出现 1n 必须要乘一个x 除以一个x 1 11 1 11 nn nn xx nxn 而要除以x 就必须讨论x为 0 不为 0 当0 x时 00f 当0 x时 1 11 1 11 nn nn xx fx nxn 只需要求出 1 11 n n x n 就会求出fx 下面求 1 11 n n x n 令 1 11 n n x g x n 收敛域1 1 在收敛区间1 1上逐项求导 11 n n x gxx x 00 0ln 1 1 xx t g xgt dtgdtxx t 1 1x 当1x时 11 1limlimln 11ln 2 xx gg xxx 于是 0 0 ln 1 11 00 1 ln21 1 x x fxx x x U 3 收敛域为1 1 令 1 1 n n fxnx 对 1 1 n n fxnx 在1 1上逐项积分 1 00 111 xx nn nn x f t dtntdtx x 2 1 1 1 x fx x x 4 解 1 收敛域为1 1 1 2 11 1 nn nn x fxnxxnx x 解 2 由于 n l
