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1、第一单元第一单元 图形的变换图形的变换 图形变换的基本方式是平移平移 对称对称和旋转旋转 1 1 轴对称 轴对称 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合 这样的图形叫做 轴对称图形轴对称图形 这条直线叫做对称轴 1 学过的轴对称平面图形 长 正 方形 圆形 等腰三角形 等边三角形 等腰长 正 方形 圆形 等腰三角形 等边三角形 等腰 梯形梯形 等腰三角形有 1 条对称轴 等边三角形有 3 条对称轴 长方形有 2 条对称轴 正方形有 4 条对称轴 等腰梯形有 1 条对称轴 任意梯形和平行四边形不是轴对称图形 2 圆有无数条对称轴 圆有无数条对称轴 3 对称点到对称轴的距离相等 对称点到对称
2、轴的距离相等 4 轴对称图形的特征和性质 对应点到对称轴的距离相等 对应点的连线与对称轴垂直 对称轴两边的图形大小 形状完全相同 5 对称图形包括轴对称图形和中心对称图形 平行四边形 除棱形 属于中心对称平行四边形 除棱形 属于中心对称 图形 图形 2 2 旋转 旋转 在平面内 一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较 做旋转 定点 O 叫做旋转中心旋转中心 旋转的角度叫做旋转角旋转角 原图形上的一点旋转后成为 的另一点成为对应点 1 生活中的旋转 电风扇 车轮 纸风车 生活中的旋转 电风扇 车轮 纸风车 2 旋转要明确绕点 角度和方向 3 长方形绕中点旋转 长方形绕中点旋转
3、180 度与原来重合 正方形绕中点旋转度与原来重合 正方形绕中点旋转 90 度与原来重合 度与原来重合 等边三角形绕中点旋转等边三角形绕中点旋转 120 度与原来重合 度与原来重合 旋转的性质旋转的性质 1 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动 2 2 其中对应点到旋转中心的距离相等 其中对应点到旋转中心的距离相等 3 旋转前后图形的大小和形状没有改变 4 两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等 都等于旋转角 5 旋转中心是唯一不动的点 旋转中心是唯一不动的点 3 对称和旋转的画法 对称和旋转的画法 旋转要注意 顺时针 逆时针 度数 第二单元 因数和倍数 1
4、 整除整除 被除数 除数和商都是自然数 并且没有余数 整数与自然数的关系 整数包括自然数 2 因数 倍数因数 倍数 大数能被小数整除时 大数是小数的倍数倍数 小数是大数的因数因数 例 12 是 6 的倍数 6 是 12 的因数 1 1 数 数 a a 能被能被 b b 整除 那么整除 那么 a a 就是就是 b b 的倍数 的倍数 b b 就是就是 a a 的因数 的因数 因数和倍数是相 互依存的 不能单独存在 2 2 一个数的因数的个数是 一个数的因数的个数是有限的有限的 其中最小的因数是 其中最小的因数是 1 1 最大的因数是它本身 最大的因数是它本身 一个数的因数的求法 成对地按顺序找
5、3 3 一个数的 一个数的倍数的个数是无限的倍数的个数是无限的 最小的倍数是它本身 最小的倍数是它本身 一个数的倍数的求法 依次乘以自然数 4 2 3 5 的倍数特征的倍数特征 1 个位上是 0 2 4 6 8 的数都是 2 2 的倍数的倍数 2 2 一个数 一个数各位各位上的数的和是上的数的和是 3 3 的倍数 这个数就是的倍数 这个数就是 3 3 的倍数 的倍数 3 3 个位上是 个位上是 0 0 或或 5 5 的数 是的数 是 5 5 的倍数 的倍数 4 4 能同时被 能同时被 2 2 3 3 5 5 整除 也就是整除 也就是 2 2 3 3 5 5 的倍数 的最大的两位数是的倍数 的最
6、大的两位数是 9090 最小 最小 的三位数是的三位数是 120120 同时满足同时满足 2 2 3 3 5 5 的倍数 实际是求的倍数 实际是求 2 3 5 302 3 5 30 的倍数 的倍数 5 5 如果一个数同时是如果一个数同时是 2 2 和和 5 5 的倍数 那它的个位上的数字一定是的倍数 那它的个位上的数字一定是 0 0 3 完全数 完全数 除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数完全数 如 6 的因数有 1 2 3 6 除外 刚好 1 2 3 6 所以 6 是完全数 小的小的 完全数有完全数有 6 28 等等 4 自然数按能不能被 2 整除来分 奇数 偶数奇数 偶数
7、奇数 不能被 2 整除的数 叫奇数 也就是个位上是 1 3 5 7 9 的数 偶数 能被 2 整除的数叫偶数 0 0 也是偶数 也是偶数 也就是个位上是 0 2 4 6 8 的数 最小的奇数是 1 最小的偶数是 0 关系 关系 奇数奇数 偶数偶数 奇数奇数 奇数奇数 奇数奇数 偶数偶数 偶数偶数 偶数偶数 偶数 偶数 5 自然数按因数的个数来分 质数 合数 质数 合数 1 1 0 0 四类四类 质数 或素数 质数 或素数 只有只有 1 1 和它本身两个因数 和它本身两个因数 合数 除了合数 除了 1 1 和它本身还有别的因数 至少有三个因数 和它本身还有别的因数 至少有三个因数 1 1 它本身
8、 别的因数 它本身 别的因数 1 1 只有 1 个因数 1 1 既不是质数 也不是合数 既不是质数 也不是合数 最小的质数是最小的质数是 2 2 最小的合数是 最小的合数是 4 4 连续的两个质数是 连续的两个质数是 2 2 3 3 每个合数都可以由几个质数相乘得到 质数相乘一定得合数 质数相乘一定得合数 2020 以内的质数 有以内的质数 有 8 8 个个 2 2 3 3 5 5 7 7 1111 1313 1717 1919 100100 以内的质数有以内的质数有 2525 个个 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
9、 73 79 83 89 97 100 以内找质数 合数的技巧 看是否是 2 3 5 7 11 13 的倍数 是的就是合数 不是的就是质数 关系 奇数 奇数 奇数 质数 质数 合数 6 最大 最小最大 最小 A 的最小因数是 1 A 的最大因数是 的最大因数是 A A 的最小倍数是 A 最小的自然数是 最小的自然数是 0 最小的奇数是 1 最小的偶数是 最小的偶数是 0 0 最小的质数是 最小的质数是 2 2 最小的合数是 最小的合数是 4 4 7 分解质因数 分解质因数 把一个合数分解成多个质数相乘的形式 用短除法短除法分解质因数 一个合数写成几个质数相乘的形式一个合数写成几个质数相乘的形式
10、 比如 30 分解质因数是 30 2 3 5 8 8 互质数 公因数只有 互质数 公因数只有 1 1 的两个数 叫做互质数 的两个数 叫做互质数 两个质数的互质数 5 和 7 两个合数的互质数 8 和 9 一质一合的互质数 7 和 8 两数互质的特殊情况两数互质的特殊情况 1 和任何自然数互质 相邻两个自然数互质 两个质数一定互质 两个质数一定互质 2 2 和所有奇数互质 和所有奇数互质 质数与比它小的合数互质 9 公因数 最大公因数公因数 最大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数 其中最大的那个就叫它们的最大公因数 其中最大的那个就叫它们的最大公因数 用
11、短除法短除法求两个数或三个数的最大公因数 除到互质互质为止 把所有的除数连乘所有的除数连乘起 来 几个数的公因数只有 1 就说这几个数互质 如果两数是倍数关系时 那么较小的数就是它们的最大公因数 如果两数是倍数关系时 那么较小的数就是它们的最大公因数 如果两数互质时 那么如果两数互质时 那么 1 1 就是它们的最大公因数 就是它们的最大公因数 10 公倍数 最小公倍数公倍数 最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数公倍数 其中最小的那个就叫它们的最小公倍数最小公倍数 用短除法求两个数短除法求两个数的最小公倍数 除到互质互质为止 把所有的除数和商连乘所有的除数和商连乘起来 用短除法求三个数短
12、除法求三个数的最小公倍数 除到两两互质两两互质为止 把所有的除数和商除数和商连乘起 来 如果两数是倍数关系时 那么较大的数就是它们的最小公倍数 如果两数互质时 那么它们的积就是它们的最小公倍数 1111 求最大公因数和最小公倍数方法 求最大公因数和最小公倍数方法 用 12 和 16 来举例 1 求法一 列举求同法 最大公因数的求法 12 的因数有 1 12 2 6 3 4 16 的因数有 1 16 2 8 4 最大公因数是最大公因数是 4 4 最小公倍数的求法 12 的倍数有 12 24 36 48 16 的倍数有 16 32 48 最小公倍数是 48 2 求法二 分解质因数法 12 2 2
13、3 16 2 2 2 2 最大公因数是 2 2 4 相同乘 最小公倍数是 2 2 3 2 2 48 相同乘 不同乘 第三单元 长方体和正方体 1 由 6 个长方形 特殊情况有两个相对的面是正方形 围成的立体图形叫做长方体 两个面相交的边叫做棱两个面相交的边叫做棱 三条棱相交的点叫做顶点 相交于一个顶点的三条棱的长度 分别叫做长方体的长 宽 高 长方体特点 长方体特点 1 有 6 个面 8 个顶点 12 条棱 相对的面的面积相等 相对的棱的长度相等 2 2 一个长方体最多有 一个长方体最多有 6 6 个面是长方形 最少有个面是长方形 最少有 4 4 个面是长方形 最多有个面是长方形 最多有 2
14、2 个面是正个面是正 方形 方形 2 由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体 也叫做立方体 正方体 也叫做立方体 正方体特点 正方体特点 1 正方体有 12 条棱 它们的长度都相等 2 正方体有 6 个面 每个面都是正方形 每个面的面积都相等 3 正方体可以说是长 宽 高都相等的长方体 它是一种特殊的长方体特殊的长方体 不同点相 同 点 面棱 长方体6 个面都是长方形 有可能有两个相对的面是正方形 相对的棱的长度都相等 正方体 都有 6 个面 1 2 条棱 8 个顶 点 6 个面都是正方形 12 条棱都相等 3 3 长方体 正方体有关棱长计算公式 长方体 正方体有关棱长计算公式 长
15、方体的棱长总和长方体的棱长总和 长 长 宽宽 高 高 4 4 长 4 宽 4 高 4 L a b h 4 长 棱长总和 4 宽 高 a L 4 b h 宽 棱长总和 4 长 高 b L 4 a h 高 棱长总和 4 长 宽 h L 4 a b 正方体的棱长总和 棱长 12 L a 12 正方体的棱长 棱长总和 12 a L 12 4 长方体或正方体 6 个面和总面积叫做它的表面积表面积 长方体的表面积长方体的表面积 长 长 宽 长宽 长 高 宽高 宽 高 高 2 2 S 2S 2 abab ahah bhbh 无底 或无盖 长方体表面积 长 宽 长 高 宽 高 2 S 2 ab ah bh a
16、b S 2 ah bh ab 无底又无盖长方体表面积 长 高 宽 高 2 S 2 ah bh 贴墙纸贴墙纸 正方体的表面积正方体的表面积 棱长棱长 棱长棱长 6 6 S a a 6S a a 6 用字母表示 S 6a2 生活实际 油箱 罐头盒等都是油箱 罐头盒等都是 6 6 个面个面 游泳池 鱼缸等都只有游泳池 鱼缸等都只有 5 5 个面个面 水管 烟囱等都只有水管 烟囱等都只有 4 4 个面 个面 注意注意 1 1 用刀分开物体时 每分一次增加两个面 表面积相应增加 用刀分开物体时 每分一次增加两个面 表面积相应增加 注意 2 长方体或正方体的长 宽 高同时扩大几倍 表面积会扩大倍数的平方倍 表面积会扩大倍数的平方倍 如长 宽 高各扩大 2 倍 表面积就会扩大到原来的 4 倍 5 物体所占空间的大小叫做物体的体积体积 长方体的体积长方体的体积 长长 宽宽 高高 V abhV abh 长长 体积 宽 高 a V b ha V b h 宽宽 体积 长 高 b V a hb V a h 高高 体积 长 宽 h h V a bV a b 正方体的体积正方体的体积 棱长棱长 棱长棱长 棱长棱长
