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1、北京航空航天大学 有限元方法FiniteElementMethod 金朝海jch666 北京航空航天大学 课程目标 了解什么是有限单元法 有限单元法的基本思想 了解有限元软件的基本结构和有限元法当前的进展情况 学习有限单元法的原理 主要结合弹性力学问题来介绍有限单元法的基本方法 包括单元分析 整体分析 载荷与约束处理 等参单元等概念 能从较高层次 数力原理 上理解有限元方法的实质 掌握有限元分析的工具 并具备初步处理工程问题的能力 能够对有限元分析结果的有效性和准确性进行评估 同时要认识到有限元方法的局限性 仅仅是一种分析工具 北京航空航天大学 进度安排 第1讲有限元方法概述第2讲矩阵分析及弹
2、性力学基础第3讲弹性问题有限元方法第4讲等参元和高斯积分第5讲结构单元第6讲材料非线性第7讲几何非线性第8讲有限元应用专题 北京航空航天大学 课程评估 出勤率10 课堂作业40 期末考试50 北京航空航天大学 主要参考书籍 王勖成 邵敏编著 有限单元法基本原理和数值方法 北京 清华大学出版社 1997朱伯芳著 有限单元法原理与应用 第2版 北京 中国水利水电出版社 1998曾攀 有限元分析及应用 北京 清华大学出版社 2004 北京航空航天大学 TedBelytschko著 庄茁 译 连续体和结构的非线性有限元 北京 清华大学出版社 2002王国强 实用工程数值模拟技术及其在ANSYS上的实践
3、 西安 西北工业大学出版社 1999 北京航空航天大学 预备知识 线性代数数值分析材料力学弹性力学弹塑性力学 北京航空航天大学 第1讲有限元法简介 绪论 1 1有限元方法形成的背景1 2有限元方法的基本原理和思路1 3有限元分析主要应用领域1 4常用有限元分析软件介绍1 5有限元分析的作用及应用实例 北京航空航天大学 1 1有限元方法形成的背景 两类典型的工程问题有限元法形成的背景工程师的角度数学家的角度我国力学工作者的贡献 北京航空航天大学 两类典型的工程问题 第一类问题 可以归结为有限个已知单元体的组合 例如 材料力学中的连续梁 建筑结构框架和桁架结构 平面桁架结构 由6个承受轴向力的 杆
4、单元 组成 1889年建成的Effiel铁塔 由18036个部件组成 北京航空航天大学 Effiel铁塔夜景 北京航空航天大学 第二类问题 通常可以建立它们应遵循的基本方程 即微分方程和相应的边界条件 例如弹性力学问题 热传导问题 电磁场问题等 热传导问题的控制方程与换热边界条件如下 北京航空航天大学 V6引擎在工作中的温度分布 北京航空航天大学 两类问题的对比 第一类问题的研究对象称为离散系统 离散系统是可解的 但是求解复杂的离散系统 要依靠计算机技术 第二类问题的研究对象称为连续系统 可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件 通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解 对于大多数实际的工程问
5、题 需要用近似算法来求解 北京航空航天大学 有限元法形成的背景 为了解决这个困难 工程师和数学家开始寻找一种近似的求解方法 在这个过程中 他们从两个不同的路线得到了相同的结果 即有限单元法 FiniteElementMethod 结构分析的有限元方法是由一批工业界和学术界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的 北京航空航天大学 有限单元法的形成可以回顾到二十世纪50年代 它的形成直接得益于飞机结构分析中的矩阵位移法 注 20世纪40年代 由于航空事业的飞速发展 对飞机结构提出了愈来愈高的要求 即重量轻 强度高 刚度好 人们不得不进行精确的设计和计算 在这一背景下 逐渐在工程中产生了
6、矩阵分析法 北京航空航天大学 工程师方面 思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断 对于不同结构的杆系 不同的载荷 求解时都能得到统一的矩阵公式 从固体力学的角度看 桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连续系统在结构上存在相似性 可以把结构分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解 北京航空航天大学 1956年 波音公司的Turner Clough Martin Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩阵位移法推广到求解平面应力问题的方法 即把结构划分成一个个三角形和矩形 单元 在单元内采用近似位移插值函数 建立了单元节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵
7、并得到了正确的解答 1960年 Clough在他的名为 Thefiniteelementinplanestressanalysis 的论文中首次提出了有限元 FiniteElement 这一术语 北京航空航天大学 数学家方面 数学家们则发展了微分方程的近似解法 包括有限差分方法 变分原理和加权余量法 1954 1955年 德国斯图加特大学的Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文 为有限元研究奠定了重要的基础 1963年前后 经过J F Besseling R J Melosh R E Jones R H Gallaher T H H Pian 卞学磺 等许多人的工作 认
8、识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形 发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式 北京航空航天大学 1965年O C Zienkiewicz和Y K Cheung 张佑启 发现只要能写成变分形式的所有场问题 都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解 1967年 Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著 北京航空航天大学 1969年B A Szabo和G C Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法 导出标准的有限元过程来求解非结构问题 1970年以后 有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题 Oden于1972年出版了第一本关于处理非线性
9、连续体的专著 这一时期的理论研究是比较超前的 北京航空航天大学 我国力学工作者的贡献 陈伯屏 结构矩阵方法 钱伟长 胡海昌 广义变分原理 冯康 有限单元法理论 20世纪60年代初期 冯康等人在大型水坝应力计算的基础上 独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论基础 数学辞海 第四卷 北京航空航天大学 1 2有限元分析的基本原理和思路 有限元方法是求解数学物理问题的一种数值计算方法 起源于固体力学 然后迅速扩展到流体力学 传热学 电磁学等其他物理领域 有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统 几何和载荷工况 进行模拟 利用简单而又相互作用的元素 即单元 用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真
10、实系统 有限元模型是真实系统理想化的数学抽象 北京航空航天大学 真实系统 有限元模型 有限元模型由一些简单形状的单元组成 单元之间通过节点连接 并承受一定载荷 节点具有一定的自由度 齿轮有限元模型 北京航空航天大学 自由度 DOFs 用于描述一个物理场的响应特性 结构DOFs ROTZ UY ROTY UX ROTX UZ 北京航空航天大学 基本思路 分割 组合 将连续系统分割成有限个分区或单元 离散化 用标准方法对每个单元提出一个近似解 单元分析 将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统 整体分析 这种分割 组合思想古而有之 如求圆面积 北京航空航天大学 圆面积 北京航空航天大学
11、自重作用下等截面直杆的解 受自重作用的等截面直杆如图所示 杆的长度为L 截面积为A 弹性模量为E 单位长度的重量为q 杆的内力为N 试求 杆的位移分布 杆的应变和应力 北京航空航天大学 材料力学解答 北京航空航天大学 有限元法解答 1 离散化将直杆划分成n个有限段 有限段之间通过一个铰接点连接 两段之间的连接点称为节点 每个有限段称为单元 第i个单元的长度为Li 包含第i i 1个节点 X 北京航空航天大学 2 单元分析用单元节点位移表示单元内部位移 第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示 第i结点的位移 第i结点的坐标 北京航空航天大学 第i个单元的应变 应力 内力 北京航空航天大学 3
12、 整体分析 首先把外载荷集中到节点上 把第i单元和第i 1单元重量的一半 集中到第i 1结点上 北京航空航天大学 建立结点的力平衡方程 对于第i 1结点 由力的平衡方程可得 令 i 1 n 1 北京航空航天大学 对于第n 1个结点 第n个单元的内力与第n 1个结点上的外载荷平衡 因此可以得到n 1个方程构成的方程组 可解出n 1个结点的位移 再加上约束条件 北京航空航天大学 有限元方法的基本思想和原理是 简单 而 朴素 的 在发展初期 许多学术权威对该方法的学术价值有所鄙视 国际著名刊物JournalofAppliedMechanics许多年来拒绝刊登有关有限元方法的文章 其理由是没有新的科学
13、实质 现在完全不同了 由于有限元方法在科学研究和工程分析中的地位 有关有限元方法的研究已经成为数值计算的主流 涉及有限元方法的杂志有几十种之多 北京航空航天大学 有限元方法的主要研究内容 计算方法 大型线性方程组的解法 非线性问题的解法 动力问题计算方法 高精度单元复杂材料模型多物理场耦合目标 提高计算效率和计算精度 北京航空航天大学 1 3有限元分析主要应用领域 结构分析热分析电磁分析流体分析耦合场分析 多物理场 北京航空航天大学 结构分析 结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用领域 结构这个术语是一个广义的概念 它包括土木工程结构 如桥梁和建筑物 汽车结构 如车身骨架 海洋结构 如船舶结
14、构 航空结构 如飞机机身等 同时还包括机械零部件 如活塞 传动轴等等 结构分析中计算得出的基本未知量 节点自由度 是位移 其他的一些未知量 如应变 应力 和反力可通过节点位移导出 北京航空航天大学 结构分析 分类 静力分析 用于静态载荷 可以考虑结构的线性及非线性行为 例如 大变形 大应变 应力刚化 接触 塑性 超弹及蠕变等 动力分析 动力学分析是用来确定惯性 质量效应 和阻尼起着重要作用时结构或构件动力学特性的技术 动力学特性 可能指的是下面的一种或几种类型 振动特性 结构振动方式和振动频率 周期 振动 载荷的效应随时间变化载荷的效应屈曲分析 用于计算屈曲载荷和确定屈曲模态 包括线性 特征值
15、 和非线性屈曲分析 北京航空航天大学 静力分析 转向机构支架的强度分析 MSC Nastran 北京航空航天大学 动力分析 五种类型 模态分析 计算线性结构的自振频率及振形 谱分析是模态分析的扩展 用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变 也叫作响应谱或PSD 整机模态分析 北京航空航天大学 关于模态分析 模态分析是用来确定结构的振动特性的一种技术 自然频率振型振型参与系数 即在特定方向上某个振型在多大程度上参与了振动 模态分析是所有动力学分析类型的最基础的内容 模态分析的作用 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动 例如扬声器 汽车尾气排气管装配体的固有频率与发动机的固有频率相同时 就可能会
16、被震散 有助于在其它动力分析中估算求解控制参数 如时间步长 北京航空航天大学 谐响应分析 确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应 旋转设备 如压缩机 发动机 泵 涡轮机械等 的支座 固定装置和部件 受涡流 流体的漩涡运动 影响的结构 例如涡轮叶片 飞机机翼 桥和塔等 瞬态动力学分析 确定结构对随时间任意变化的载荷的响应 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为 显式动力分析 计算高度非线性动力学和复杂的接触问题 用于模拟非常大的变形 惯性力占支配地位 并考虑所有的非线性行为 显式求解冲击 碰撞 复杂金属成形等问题 是目前求解这类问题最有效的方法 北京航空航天大学 车辆安全性 北京航空航天大学 热分析 热分析在许多工程应用中扮演重要角色 如内燃机 涡轮机 换热器 管路系统 电子元件等 热分析之后往往进行结构分析 计算由于热膨胀或收缩不均匀引起的应力 热相关问题相变 熔化及凝固 内热源 例如电阻发热等 三种热传递方式 热传导 热对流 热辐射 稳态传热 系统的温度场不随时间变化瞬态传热 系统的温度场随时间明显变化 热分析计算物体的稳态或瞬态温度分布 以及热量的获取或损失 热梯度 热通量
