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1、第四章 系统的频域分析 第三章分析可知 系统的响应与输入信号的类型有关系 研究了三种典型的输入信号 下面研究系统在输入正弦信号时 系统的响应情况 当只改变输入正弦信号的频率 不改变输入信号的幅值和相位 探究系统的输出信号的特性 在机械振动学中的随机振动 振动的主动控制 机电控制系统中都有重要的意义 频率响应是时间响应的特例 是控制系统对正弦输入信号的稳态响应 频率特性是系统对不同频率正弦输入信号的响应特性 频率特性分析法 频域法 是利用系统的频率特性来分析系统性能的方法 研究的问题仍然是系统的稳定性 快速性和准确性等 是工程上广为采用的控制系统分析和综合的方法 频率特性分析法是一种图解的分析方
2、法 不必直接求解系统输出的时域表达式 可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环系统的响应性能 不需要求解系统的闭环特征根 系统的频域指标和时域指标之间存在着对应关系 频率特性分析中大量使用简洁的曲线 图表及经验公式 使得控制系统的分析十分方便 直观 4 1频率特性概述4 2频率特性的Nyquist图示方法4 3频率特性的Bode图示方法4 4频率特性的特征量4 5最小相位系统和非最小相位系统 4 1频率特性概述 例 输入 解 瞬态项 趋近零 稳态项 正弦信号 同频率 相位滞后 且与频率有关 幅值改变 也与频率有关 定义几个概念 频率响应 频率特性 幅频特性 相频特性 对正弦信号的稳态响应 在
3、时间域上描述 稳态输出的幅值与输入幅值的比值 显然这个比值是的函数 输出信号幅值的放大或缩小的比例 稳态输出的相位与输入相位的差 显然这个差值也是的函数 和 的总称 上述例子 频率特性为 本例用定义法求频率特性 直观 但较繁琐 寻找新的求解频率特性的方法 当输入为一正弦波 即 系统的输出为 若分母无重根 式中 待定共轭复数 Ai i 1 2 n 待定常数 稳定的系统 将衰减为零 为瞬态项 稳态项 故稳态响应 式中的可按求留数的方法予以确定 故频率特性为 以后用表示频率特性 求解频率特性简单 表明了频率特性与传递函数之间的关系 频率特性G j 是一个以频率 为自变量的复变函数 它是一个矢量 故可
4、将G j 分解为实部和虚部之和即 式中U 实频特性 U Re G j V 虚频特性 V Im G j 这些频率特性之间的关系如下 方法二 关键是求 方法一 第三章方法 例1 频率特性的物理意义 图4 3所示的弹簧阻尼系统 其力平衡方程是 若以x为输入y为输出 则系统的传递函数为 式中T f k 时间常数 4 17 在式 4 17 中 令s j 则得系统的频率特性为 式中 幅频特性 相频特性 因此 实频特性 虚频特性 如若输入位移是正弦函数 即x t x0sin t 根据式 4 8 其输出位移应为 4 19 频率特性G j 的物理意义 由例4 1机械系统的频率特性可以看出 1 机械系统的结构参数
5、 k f 给定之后 其频率特性完全确定 故频率特性反映了系统的固有特性 与外界因素无关 2 当频率很低时 输出量y t 的振幅衰减甚微 相位滞后arctanT 也很小 当输入频率 增加时 输出振幅减小 相位滞后加大 当 时 输出量的振幅衰减至零 相位滞后 90 说明该系统复现正弦信号的能力是随输入频率变化的 该系统具有低通滤波作用 3 频率特性随频率而变化 是因为系统含有储能元件 实际系统中往往存在弹簧 惯量或电容 电感这些储能元件 它们在能量交换时 对不同频率的信号使系统显示出不同的特性 频率特性极坐标图 4 2频率特性的Nyquist图示方法 曲线上的点到原点的距离表示幅值 与横轴的夹角表
6、示相位 频率特性极坐标图 规定极坐标图的实轴正方向为相位的零度线 由零度线起 矢量逆时针转过的角度为正 顺时针转过的角度为负 极坐标图也称为乃氏图或乃奎斯特曲线 主要缺点 不能明显地表示出系统传递函数中各个环节在系统中的作用 绘制较麻烦 幅相频率特性图的优点 在一幅图上同时给出了系统在整个频率域的实频特性 虚频特性 幅频特性和相频特性 它比较简洁直观地表明了系统的频率特性 1 绘制频率特性Nyqusit图的步骤 1 比例环节 相频特性 幅频特性 2 积分环节 当 0时 G j G j 90 当 时 G j 0 G j 90 3 理想微分环节 传递函数G s s 频率特性G j j 当 0时 G
7、 j 0 G j 90 当 时 G j G j 90 4 惯性环节 当 0时 G j 1 G j 0 当 时 G j 0 G j 90 当 1 T时 G j 0 707 G j 45 5 一阶微分环节 传递函数G s 1 Ts频率特性G j 1 jT 当 0时 G j 1 G j 0 当 1 T时 G j G j 45 当 时 G j G j 90 当 从0 时 G j 的幅值由1 其相位由0 90 一阶微分环节频率特性的极坐标图始于点 1 j0 平行于虚轴 是在第一象限的一条垂线 6 振荡环节 在阻尼 比较小时 幅频特性 G j 在频率为 r处出现峰值 此峰值称为谐振峰值Mr 对应的频率称为
8、谐振频率 r 可如下求出 式只有在1 2 2 0时才有意义 即 0 707时 才会出现谐振峰值 当 r时 系统将产生谐振 其峰值为 谐振峰值时的相位 当阻尼比 0时 n时的幅值为 当阻尼比 0时 r 1 T n 此时 幅值为 此时系统的频率特性为 相位角为 所以G j 的轨迹与虚轴交点处的频率就是无阻尼自然频率 n 7 二阶微分环节 传递函数 频率特性 幅频特性 相频特性 由此有 当 0时 G j 1 G j 0 当 1 T时 G j 2 G j 90 当 时 G j G j 180 二阶微分环节的幅相频率特性图 8 延迟环节 延迟环节的频率特性函数为 幅频特性 相位衰减和输入频率成线性变化
9、而幅值不衰减 故延时环节的幅相频率特性是一单位圆 相频特性 乃奎斯特图的一般画法 乃奎斯特图的一般画法举例 1 0型系统 2 I型系统 3 II型系统 4 3频率特性的Bode图示方法 一 频率特性bode图的概念二 典型环节bode图三 开环系统bode图的画法 课后作业 p153 4 15共10小题 全做 要求 A4纸 不得抄袭 好的和差的作业 要拍照 展示 引例 一 频率特性bode图的概念 绘制积分环节的bode图 解 x 0 1 2 1 10 100 0 2 0 4 0 6 0 8 1 2 1 4 1 6 1 8 2 4 8 20 40 80 0 2 对数幅频特性L 20lg j 2
10、0lgK 对数相频特性 j 0 由上两式可见 比例环节的对数幅频特性L 和对数相频特性 都是常数而与 无关 在伯德图上皆为直线 图4 10 比例环节 频率特性 j K 二 典型环节bode图 当K 1时 幅值分贝数为正 当K 1时 幅值分贝数为负 K值改变时 只是对数幅频特性上 下移动 而对数相频特性不变 2 积分环节 对数幅频特性为 对数相频特性 G j 90 频率特性为 变量 1 对数幅频特性 1 0 点 斜率为 20dB dec的直线 相频特性为 90 的直线 1 对数幅频特性 1 0 点 斜率为 20dB dec的直线 相频特性为 90 的直线 3 微分环节 对数幅频特性 L 20lg
11、 G j 20lg 对数相频特性 G j 90 和积分环节对数频率特性表达式比较 两者仅仅相差一个符号 故微分环节的对数幅频特性为一在 1处和横轴相交 其斜率为 20dB dec的直线 对数相频特性为 90 的一条水平线 这说明输出的相位总是超前于输入相位90 频率特性 对数幅频特性 1 0 点 斜率为 20dB dec的直线 相频特性为 90 的直线 4 惯性环节 惯性环节有低通滤波器的特性 当输入频率 T时 其输出很快衰减 即滤掉输入信号的高频部分 在低频段 输出能较准确地反映输入 因为对数相频特性 arctanT 是以反正切函数表示的 所以相位曲线斜对称于点 T 45 一阶微分环节与惯性
12、环节的对数幅频特性和对数相频特性仅差一个符号 其伯德图如图4 13所示 和惯性环节的伯德图对称于横轴 其对数幅频特性的渐近线由两条直线表示 当 1 T时 是一条斜率为 20dB doc的斜线 幅值迅速上升 说明一阶微分环节对高频信号具有超前放大作用 5 一阶微分环节 对数幅频特性 对数相频特性 G j arctanT 频率特性 4 58 4 59 4 60 6 振荡环节 7 二阶微分环节 对数幅频特性为 4 65 频率特性 4 64 对数相频特性 4 66 二阶微分环节的伯德图和振荡环节的伯德图对称与横轴 其渐近线如图4 15所示 8 延时环节 对数相频特性 对数幅频特性 频率特性 4 67
13、延时环节的对数幅频特性恒为零分贝线 而对数相频特性与 成线性变化 典型环节的对数频率特性归纳如下 1 比例环节的幅值为平行横轴的直线 其相位为0 线 与 无关 2 微分环节和积分环节的幅值为过 1 j0 点 斜率分别为 20dB dec 对称于横轴的直线 相位分别为 90 与 无关 3 一阶微分环节和惯性环节的幅值低频渐近线为0分贝线 高频渐近线斜率分别为 20dB dec 转角频率为 T 对称于横轴 相位在0 90 范围内变化 曲线斜对称于弯点 T 45 4 二阶微分环节和振荡环节幅值的低频渐近线为0分贝线 高频渐近线斜率分别为 40dB dec 转角频率为 T 对称于横轴 相位在0 180
14、 范围内变化 曲线斜对称于弯点 T 90 5 延时环节的幅值为0分贝线 相位随 成线性变化 有转角频率的环节 惯性环节 一阶微分环节 振荡环节 二阶微分环节 均指标准形式而言 对数频率特性的镜像关系 1 将系统传递函数G s 转化为若干个标准形式的环节的传递函数 即惯性 一阶微分 振荡和二阶微分环节的传递函数中常数项均为1 的乘积形式 2 由传递函数G s 求出频l率特性 3 确定各典型环节的转角频率 4 作出各环节的对数幅频特性的渐近线 5 对渐近线进行修正 得出各环节的对数幅频特性的精确曲线 6 将各环节的对数幅频特性叠加 不包括系统总的增益尺 方法一 叠加法 三 开环系统bode图的画法
15、 7 将叠加后的曲线垂直移动 得到系统的对数幅频特性 8 作各环节的对数相频特性 叠加 得到系统总的对数相频特性 9 有延时环节时 对数幅领特性不变 对数相频特性则应加上 例4 3已知系统的开环传递函数 要求绘制系统开环伯德图 例4 3已知系统的开环传递函数 绘制系统开环伯德图 2 比例环节K 3 20lgK 9 5dB3 转角频率由小到大分别为0 4 2 40 解 1 将G s 化成由典型环节串联组成的标准形式 可见系统由比例环节 一阶微分环节 两个惯性环节串联组成 其频率特性为 绘制系统的开环伯德图方法二 顺序频率法 例4 3已知系统的开环传递函数 要求绘制系统开环伯德图 解 1 将G s
16、 化成由典型环节串联组成的标准形式 可见系统由比例环节 一阶微分环节 两个惯性环节串联组成 其频率特性为 2 比例环节K 3 20lgK 9 5dB3 转角频率由小到大分别为0 4 2 40 4 画一条20lgK 9 5dB的水平直线 此线与通过 1 0 4的垂线相交点 因 1是惯性环节的转角频率 所以要在此点改变渐进线的斜率 20dB dec 此渐进线又与通过一阶微分环节的转角频率 2 2的垂线相交点改变渐进线的斜率由 20dB dec改变为0dB dec 当渐进线通过令一惯性环节的转角频率 3 40的垂线相交点时改变渐进线的斜率由0dB dec改变为 20dB dec 这几段渐进线的折线即为对数幅频特性 5 在转角频率处 利用误差修正曲线对对数幅频特性曲线进行必要的修正 6 根据式 可知 相频特性曲线的角度范围为0 90 描点画出系统的相频特性曲线 转角频率由小到大分别为0 4 2 40 K 3 20lgK 9 5dB 转角频率由小到大分别为5 10 K 25 20lgK 27 96dB 转角频率由小到大分别为1 5 10 K 0 1 20lgK 20dB 转角频率由小到大分别为2
