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判别一个函数f x 在 a b 上是否可积 就是判别 3可积条件 的性质 例如函数的有界性 连续性等 来判别 极限是否存在 在实际应用中 直接按定义来判定是困难的 我们希望由函数本身 函数的可积性 为此 先给出可积准则 并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件 连续性是 可积的充分条件而非必要条件 返回 定理9 1 可积必有界 若函数在上可积 则在上必有界 证设 由定义 对 于是 于是 矛盾 以下例子告诉我们 有界性并不是可积的充分条件 证若D x 在 a b 上可积 则 相矛盾 所以 称为f关于分割T的上和 其中 称为f关于分割T的下和 其中 定理9 3 可积准则 函数f在 a b 上可积的充要 条件是 振幅反映了函数在区间内的变化范围 是一个与连 续性相关联的概念 常见的有三种方法 下面分别作出介绍 定理9 4 连续必可积 从而 因此当 第二种方法 定理9 5 单调必可积 于是 因此 若 第三种方法 于是 定理9 6 有限个间断点的有界函数必可积 此时可用第三种方法证 f在 a b 上可积
