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1、 带你领略 轴对称之美 作者: 赵大能 单位: 商水县张明一中 带你领略轴对称之美 数学中的轴对称在我们的基础教育中占有很大的份量，她点缀了我们的视野,也在很多领域服务了我们的生活,她的美不仅在于艺术更在于科学.最重要的是,轴对称可以用来解决生活中的几何极值问题,这让她显得更加有内涵.只有感受它,运用它,才能体会.她的美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。就是这种奇异美使神秘的世界充满了勃勃生机。在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的
2、是圆形。圆是中心对称圆形圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形任何一条直径都是它的对称轴。 在提倡学习“变换几何”的今天，作为反射变换的“轴对称”越来越显得重要本文将着重阐述“轴对称”的文化内涵，揭示它的美学价值及应用价值首先，轴对称是人类最重要的几何直观轴对称的直观之美是非常容易感知的大自然中的许多景物，比如蝴蝶人体等生物的躯体,水上的倒影等 ,使用的日常器物，美观的服装设计，都呈现了这种“左右、上下”大体对称的格局河姆渡文化中的标志，显示了7千年以前的先民，已经具有轴对称的数学美感 其次，我们还可以展现轴对称的另外一种美：“以简驭繁”的数学美、排忧解难的智慧美如我们熟悉的以下的问题链，借助“
3、轴对称”数学平台，通过处理一系列的极值问题，展现一种简洁、智慧、巧思的科学之美问题链犹如一幅国画长卷，一点点展开，由浅入深，最后获得全貌，美不胜收人教八年级教材中把轴对称作为一个独立的章节，体现出其重要性.与之相关的问题也成为考查热点.其中，在几何作图及解决实际问题中用到轴对称知识的情况尤为多见.这类问题的形式比较灵活，但归纳下来常见的为以下三种. 一、两点一线求最小距离和或最大距离差问题所谓两点一线求最小距离和及最大距离差问题，是指所给条件或问题情境可化归为两个点与一条直线，在直线上求作一点使得距离和最小或距离差最大.例1 如图1-1，在河岸的同侧有两个村庄A和B，要在河岸边建一水站C，使水
4、站C到A、B两地的输水管道长度之和最小，试在图上作出C.分析：要求最小距离，可联系“两点之间，线段最短”这一性质解题，因而需作出其中一点关于的对称点. 作法：如图1-2，1、作点A关于直线的对称点；2、连结交直线于点C；3、连结AC、BC，因为AC=，且、C、B在同一条直线上，此时AC+BC为最小.所以点C即为原题所求作的货场位置. 如何证明？ (分析)在直线l上另取一点C，连结CA 、A C、B C、CA，要证CACB最小，由任意性，只要证 ：CACBA CB C，由对称性可知：CACA, CACA 只要证：CACBCAB C 只要证： ABCAB C 而BAC中，有三角形两边之和大于第三边
5、，问题得证。 说明：这类作图题一般给出两个定点与一条直线，然后在直线上求作一点，使该点到两个定点距离之和最小.这类题的作法可归纳为作其中任一定点关于直线的对称点，然后与另一定点连结，交直线于一点. 变式：如图所示，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，当DN+MN最小时，试确定N的位置。 例2直线l两侧有A、B两点，如何在直线l上取一点C，使CA-CB最大。 分析：要求使距离之差最大的点，可联系“三角形三边关系两边之差小于第三边”这一性质解题，因而需作出其中一点关于的对称点.做A点关于这条直线l的对称点A,连结AB.当A与B重合，则AC,BC的差始终为零， C
6、可以是直线l上任意一点；当A不与B重合时 1.若直线AB与直线l平行，则C无限远离A,B; 2.若直线AB与直线l相交，交点即位C点所在。理由：A与B重合的情况就不必解释了 当A不与B重合时，因为CA=CA,所以两条线段差是CB与CA的差， 而在三角形ACB中，CB与CA的差小于等于BA,当取到等于时A,B,C 三点共线，此时这两条线段差最大，所以C是这两条直线的交点，但是若直线AB与直线l平行就没有交点，没有交点就意味着这两条直线在无穷远处相交，所以C点无限远离A,B. 二、两线一点求最小周长问题所谓两线一点求最小周长问题，是指所给条件或问题情境可化归为两条直线与一个点，在直线上求作两点获得
7、最小周长三角形. 例3、 如图2-1，P为马厩，AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线. 把这个问题称之为“牧童放牧”问题。 分析：所谓最佳路线即分别在AB、CD上各找一点与点P构成三角形且周长最短. 作法：如图2-2，1、分别作点P关于AB、CD的对称点、；2、连结，分别交AB、CD于点M、N；3、分别连结MP、NP；因为，且、N、M、在同一条直线上，此时为最小.所以沿PM、MN、NP行走为最佳路线. 说明：这类作图题的特点是条件中给出两条直线与一个定点，然后在两条直线上各找一点与定点构成三角形使周长
8、最短.这类题的作法可归纳为分别作定点关于两直线的对称点，并连结交两直线于各一点. 三、两线两点求线路最短 例4. 如图4所示，一个港湾，停留了M、N两艘轮船。（1）M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到N船。船长如何走使水路最短？（2）若M船的船长从M处出发，先到OA岸，再到OB岸，最后到N船，船长如何走使水路最短？ 图4解：（1）如图5所示，作点N关于OA的对称点C，连结MC，交OA于E，则从M到E再到N的水路最短。 （2）如图6所示，作点M关于OA的对称点M”，作点N关于OB的对称点N”，连结M”N”，交OA于P，交OB于Q，则从M到P，从P到Q，再从Q到N的水路最短。 图5 图6 变式:
9、如图6,M为马厩,OA为草地,OB为河,N为营地,将军每天从马厩牵出马去草地放牧,然后去 河边饮马,最后回到营地,请帮他设计最短线路.例5. A、B两镇中间隔一条河，现在要在河上架一座垂直于河岸的桥，使A、B两镇之间的路程最短，那么桥应架在何处？解：如图7所示，设河岸为，过A作于M，交于N，在AM上截取，连结交于C，过C作于D点，则线段CD为建桥位置（想一想，为什么？）。图7变式1、如图，已知M、N分别是锐角ABC的边AB、BC上的点，试在AC边上找一点P， 使MNP周长最小. 变式2、如图，M是锐角ABC的边AB上的一点，试在BC、AC边上各找点N、P，使MNP周长最小.变式3、如图，已知锐
10、角ABC，试在AB、BC、AC边上各找一点M、N、P，使MNP周长最小.ABCABCABC问题1问题2问题3MNM 问题1是已知两点找一点，而MN的长度不变，实际上是“管道最短”问题。 问题2是已知一点找两点，实际上是“牧童放牧”、“将军饮马”问题。问题3是一个点都没给，要求在锐角三角形的三边边上各找一点，使它们所构成的三角形的周长最小，在这里你可以尝试初步的探索，供你思考。如果把锐角ABC改为直角三角形或者钝角三角形又是什么样的情况？这也是需要你闲暇时认真思考的问题。 关于轴对称的作图问题形式灵活多变，但只要仔细分析，你一定可以发现其中的规律.“以不变应万变”是数学解题的一种重要理念，相信你
11、一定可以做得更好. 这样一来，我们看到反复出现的数学问题，归根结底是“两点间以直线为最短”原理的引申，而起关键作用的则是对称点的运用一个原理，一个方法，构成一副精美的科学图画，科学之美油然而生在课堂上，引导学生欣赏这样的数学美，是数学文化教学内容的重要组成部分 再者，轴对称的思想与中国传统文化是相通的对称和对仗，思想同源如果说，轴对称是将左右两部分沿着对称轴“对折”变换之后仍然保持图形不变(线段长短、角度大小都不变)，那么中国的对仗便是从上句变到下旬之后，许多词语特性保持不变例如杜甫的著名诗句：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”对仗相当工整在前两句诗中，“两个”对
12、“一行”(数量结构对数量结构)，“黄鹂”对“白鹭”(禽类名词相对)、“翠”对“青”(颜色名词相对)、“千”对“万”(数词相对)都是同类词为对，保持了某种不变性世间万物都在变化之中，但只单说事物在“变”，不能说明什么问题科学的任务是要找出“变化中不变的规律”一个民族必须与时俱进，不断创新，但是民族的传统精华不能变京剧需要改革，可是京剧的灵魂不能变古典诗词的内容千变万化，但是基本的格律不变自然科学中，物理学有能量守恒、动量守恒；化学反应中有方程式的平衡，分子量的总值不能变总之，惟有找出变化中的不变性，才有科学的、美学的价值对称是一个十分宽广的概念，它出现在数学教材中，也存在于日常生活中，能在文学意
13、境中感受它，也能在建筑物、绘画艺术、日常生活用品中看到它，更存在于大自然的深刻结构中数学和人类文明同步发展，“对称”只是是纷繁数学文化中的标志之一更进一步说，大自然的物质结构是用对称语言写成的诺贝尔物理学奖获得者杨振宁回忆他的大学生活时说，对我后来的工作有决定影响的一个领域叫做对称原理1957年李政道和杨振宁获诺贝尔奖的工作“宇称不守恒”的发现，就和对称密切相关此外，为杨振宁赢得更高的声誉的“杨振宁米尔斯规范场”，更是研究“规范对称”的直接结果在“对称和物理学”一文中最后，他写道：“在理解物理世界的过程中，21世纪会目睹对称概念的新方面吗?我的回答是，十分可能”梯形的面积公式： ， 等差数列的前项和公式：， 其中是上底边长，是下底边长，其中是首项，是第项，这两个等式中，与是对称的，与是对称的。h与n是对称的。对称不仅美，而且有用。电磁波的波动方程：其中，为磁场强度，为电场强度，为光速。这个方程中与是对称的，麦克斯韦用纯数学的方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，这种电磁
