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1、AllRightsReserved 6 1概述 对于线弹性结构 体系中杆件的内力分布与其变形之间存在着一一对应的关系 在结构分析时 可以根据位移 变形 内力之间对应的函数关系 利用某些结点位移表达出杆件变形 据此以寻求内力分布 位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述 线弹性体系杆件的变形可以由杆端位移和其上作用的荷载分布惟一确定 由于荷载分布对内力和变形的影响比较容易确定 因此 关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的影响 体系中各杆件的杆端位移可以通过结点和支座的位移表达 因而 当支座位移和结点位移确定后 体系中所有的杆件都将具有一个明确的杆端位移值 第6章位移法 AllRigh
2、tsReserved 对整个结构来说 求解的关键就是如何确定基本未知量 A的值 AllRightsReserved 从刚架中取出杆件AB进行分析 AllRightsReserved 在位移法分析中 需要解决的三个问题 选取结构上哪些结点位移作为基本未知量 确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系 单元分析 建立求解这些基本未知量的位移法方程 整体分析 AllRightsReserved 6 2等截面直杆的转角位移方程 应用位移法需要解决的一个关键问题是 确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系 即杆件的转角位移方程 也就是位移法计算中单元分析的过程 6 2 1杆端内力及
3、杆端位移的正负号规定 1 杆端内力的正负号规定 杆端弯矩对杆端而言 以顺时针方向为正 反之为负 对结点或支座而言 则以逆时针方向为正 反之为负 杆端剪力和杆端轴力的正负号规定 仍与前面规定相同 AllRightsReserved 2 杆端位移的正负号规定 角位移以顺时针为正 反之为负 线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正 反之为负 例如 图中 AB为正 AllRightsReserved 6 2 2一般等截面直杆杆单元的转角位移方程 位移法中 内力分布与变形对应 而变形则会受到杆端位移的影响 为了描述上的方便 在计算中一般利用一个两端固定的杆单元来描述体系中的一般杆件 杆
4、端位移即可以根据该杆单元的支座位移来表达 AllRightsReserved 由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数 其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩 用和表示 杆端剪力也常称为固端剪力 用和表示 常见荷载和温度作用下的载常数列入表6 1中 由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数 列入表6 1中 表中引入记号i EI l 称为杆件的线刚度 AllRightsReserved 利用表6 1中的形常数与载常数 可得 AllRightsReserved 6 2 3特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程 若在结构中存在非刚性结点和非固定支座时 即体系出现了铰结点和定向结点 对应于支座位置 则为可动铰支座
5、固定铰支座或定向支座 在杆端力的几个分量中则会出现某杆端力分量为已知的现象 即在这样的单元中 式 6 1 的三个函数关系将不再完全独立 由于其中一个方程左端项 杆端力 为已知 那么在杆端位移中 将只能存在两个独立的未知杆端位移分量 而剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆端位移来线性描述 AllRightsReserved 由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基本未知量的数目 上述情形的存在 使得在计算中可以根据单元杆端的约束模式 在计算前对基本未知量进行筛选 去除非独立的杆端位移分量 以减少计算线性方程组的工作量 由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆单元模型 AllRigh
6、tsReserved 1 一端固定另一端铰支杆单元 AllRightsReserved 2 一端固定另一端定向支承杆单元 AllRightsReserved 在3种杆单元模型中 第一种即两端固定支承梁的模型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移 它完全可以取代后两种衍生模型 若全部用第一种单元模型进行计算 在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移方程将具有一致的形式 对应的计算方法可以较为容易地移植到计算机化的程序分析中 但用于手算时 却会导致因未知量数目较多 而计算量偏大的情况 一端固定一端铰支 一端固定一端定向支承模型的引入 则可以简化分析计算量 所以手算时一般都会使用这两种衍生模型
7、来进行计算 但应该注意形常数与载常数的选用必须与所选择的杆件单元模型相对应 AllRightsReserved 杆端剪力 根据平衡条件导出为 AllRightsReserved 6 3位移法的基本概念 6 3 1位移法的基本未知量 如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对线位移都已求得 则全部杆件的内力即可确定 在位移法中 基本未知量应是各结构的角位移和线位移 AllRightsReserved 1 结点角位移的确定 未知独立的结点角位移在通常情况下对应于体系中的刚结点 但须注意 当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时 应一并计入在内 结构固定支座处 因其转角等于零或为已知的支
8、座移动值 不应计入 铰结点或铰支座处 因其转角不是独立的 引入特殊杆端约束模式下杆单元模型 一端固定 一端铰支单元 后 其杆端转角也不再作为位移法的基本未知量 AllRightsReserved AllRightsReserved 2 结点线位移的确定 确定位移法中线位移未知量的方法 由观察确定 即设定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最多可能具有两个线位移 然后筛选出其中的未知 独立分量 主要考虑以下的筛选原则 因刚性支座的存在 线位移为零或为已知值 对应于支座移动 的不计入未知量 因轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同的 则只计其中一个 定向支承杆端力已知 对应的线位移非独立 不
9、计入独立的线位移内 AllRightsReserved AllRightsReserved 6 3 2位移法的基本结构和基本体系 为了在分析过程有效控制结构中每一结点位移 通过在体系中增设附加约束来控制结点位移的发生 增设了附加约束的结构模型 即为位移法计算中的基本结构 附加约束 角位移处的附加刚臂和线位移处的附加支杆 附加刚臂 就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上 人为地加上的一个能控制其角位移 但并不阻止其线位移 的附加约束附加支杆 就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向 人为地加上的一个能控制其线位移大小的附加支座链杆 AllRightsReserved AllR
10、ightsReserved 通过控制基本结构上的附加约束 令其发生与原结构相同的结点位移 从而形成一个在荷载与结点位移共同作用下的 与原结构变形完全相同的受力模型 该受力模型即为位移法计算中的基本体系 基本体系与原结构完全静力等效 6 3 3位移法的基本方程与基本原理 基本体系的变形与原结构完全一致 其受力也完全相同 AllRightsReserved 1 只有一个结点角位移的情况 图示 a 结构 具有一个独立的未知结点角位移 不存在结点线位移 根据基本结构的概念 在角位移处增设刚臂 得基本结构 a 原结构 c 基本体系 b 基本结构 荷载作用下 原结构变形图如图 a 所示 则其基本体系应如图
11、 c 所示 当刚臂转角与原结构A点转角相同时 图 a 与图 c 变形 内力均完全相同 AllRightsReserved 根据叠加原理 基本体系的变形可以由荷载和角位移Z1分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠加 由于基本体系与原结构完全静力等效 基本体系中角位移位置处的附加刚臂不可能存在外力 必然有 AllRightsReserved 形常数 将Z1角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示 从而得到 这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程 其实质是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件 AllRightsReserved AllRightsReserved 结构的
12、最后弯矩可由叠加公式计算 AllRightsReserved 图示刚架的基本未知量为结点C D的水平线位移Z1 在结点D加一附加支座链杆 就得到基本结构 其相应的基本体系如图所示 它的变形和受力情况与原结构完全相同 位移法方程 AllRightsReserved AllRightsReserved 将k11和F1P的值代入位移法方程式 解得 AllRightsReserved 6 4位移法的典型方程 a 原结构 b 基本结构 c 基本体系 基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支杆的反力F2都应等于零 即F1 0和F2 0 AllRightsReserved 设基本结构由于Z1 Z2及荷载单独作
13、用 引起相应于Z1的附加刚臂的反力矩分别为F11 F12及F1P 引起相应于Z2的附加支座链杆的反力分别为F21 F22及F2P 根据叠加原理 可得 AllRightsReserved 又设单位位移Z1 1及Z2 1单独作用时 在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为k11及k21 在附加支座链杆中产生的反力分别为k12及k22 则有 将式 b 代入式 a 得 a b 上式称为位移法典型方程 AllRightsReserved 其物理意义是 基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零 因此 它实质上反映了原结构的静力平衡条件 位移法典型方程 AllRightsReserved 联立解以上两个
14、方程求出Z1和Z2后 即可按叠加原理作出弯矩图 AllRightsReserved 对于具有n个独立结点位移的结构 相应地在基本结构中需加入n个附加约束 根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件 同样可建立n个方程如下 上式即为典型方程的一般形式 式中 主斜线上的系数kii称为主系数或主反力 其他系数kij称为副系数或副反力 FiP称为自由项 AllRightsReserved 系数和自由项的符号规定是 以与该附加约束所设位移方向一致者为正 主反力kii的方向总是与所设位移Zi的方向一致 故恒为正 且不会为零 副系数和自由项则可能为正 负或零 此外 根据反力互等定理可知 kij
15、 kji AllRightsReserved 选择基本体系 加附加约束 锁住相关结点 使之不发生转动或移动 而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构 可不单独画出 使基本结构承受原来的荷载 并令附加约束发生与原结构相同的位移 即可得到所选择的基本体系 建立位移法的典型方程 根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程 求系数和自由项 在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图 由结点平衡和截面平衡即可求得 解方程 求基本未知量 Zi 6 5 1典型方程法的计算步骤 6 5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力 确定
16、基本未知量数目 n ny nl AllRightsReserved 作最后内力图 按照叠加得出最后弯矩图 根据弯矩图作出剪力图 利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图 校核 由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件 而位移法典型方程是静力平衡条件 故通常只需按平衡条件进行校核 AllRightsReserved 6 5 2举例 例6 1 试用典型方程法计算图所示连续梁 并作弯矩图 各杆EI为常数 解 1 确定基本未知量数目该连续梁的基本未知量为结点B的转角Z1 即n 1 AllRightsReserved 2 确定基本体系 基本体系如图所示 由于超静定结构在荷载作用下的内力分布与杆件的相对刚度相关 因此 分析时可令i 1 根据杆件的相对刚度进行计算 如图所示 但需要注意 在相对刚度设定后 计算得到的未知量将不再直接对应于结点的真实位移数值 而是一个与所设定的相对刚度对应的数值 3 建立典型方程 AllRightsReserved 4 求系数和自由项 5 解方程 求基本未知量将以上各系数及自由项之值代入典型方程 解得 AllRightsReserved 6 作最后弯矩图 M图 kN
