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1、 第三章控制系统的时域分析方法 本章主要介绍 4 常规调节器的性能 3 系统稳定性的判据 2 系统过渡过程的质量指标的分析 静态和动态的误差分析 1 一阶 二阶和高阶系统在典型输入信号下的过渡过程 系统分析是指一个实际系统的数学模型建立后 对系统稳定性 稳态误差和瞬态响应等三个方面的性能进行分析 也就是以数学模型为基础分析系统在指定的性能指标方面是否满足要求 时域分析引言 数学模型的建立为分析系统的行为和特性提供了条件 分析的目的在于揭示系统在外部输入信号作用下各个变量的运动规律和系统的基本特性 以及改善系统特性使之满足工程要求的基本途径 分析系统的方法可分为三类 时域法 根轨迹法和频域法 时
2、域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法 具有直观 准确的优点 可以提供系统时间响应的全部信息 缺点 难以判断系统结构和参数对动态性能的影响 很难用于系统的设计 对于高阶系统 系统分析的工作量将急剧增加 不易确定其性能指标 必须借助计算机实现 学习目标 明确误差和稳态误差的定义 明确利用终值定理计算稳态误差的限制条件 明确稳定性概念及系统稳定的充要条件 熟练掌握劳斯判据及其应用 明确典型系统阶跃响应的特点及其动态性能与系统参数 零极点分布的关系 熟悉系统阶跃响应性能指标 明确影响稳态误差的因素 熟练掌握用终值定理求稳态误差的方法 重点和难点 难点 系统参数对系统性能的影响 基于输入输出
3、模型的时间响应关系 重点 典型系统性能指标 稳定性分析 稳态误差求取 3 1系统时间响应的性能指标 控制系统性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标两类 为了求解系统的时间响应 必须了解输入信号的解析表达式 然而 在一般情况下 控制系统的外加输入信号具有随机性而无法预先确定 因此需要选择若干典型输入信号 一 典型输入信号 1 阶跃输入信号 阶跃输入信号可表示为 R R为阶跃信号的幅值 是一常数 R 1时叫做单位阶跃信号 记做1 t 否则记为R 1 t 表示在t 0时刻出现了幅值为R的跳变 是最不利的外作用 常用阶跃函数作为评价系统动态性能的典型外作用 所以阶跃函数在自动控制系统的分析中起着特别
4、重要的作用 2 单位脉冲输入信号 又称 t 函数 它是在 0时求极限情况得到的 数学表达式为 但脉冲函数在现实中是不存在的 只是数学上的定义 在现实系统中常把作用时间很短 幅值很大而强度有限的一些外作用近似看作脉冲函数 当A 1时 称为单位脉冲函数 记作 t 强度为A的脉冲函数r t 表示成r t A t 3 斜坡输入信号 也叫速度函数 斜坡输入信号可表示为 tg R R为常数 此信号幅值随时间t作等速增长变化 其速率为R 4 抛物线 加速度 输入信号 抛物线输入信号可表示为 R为常数 此信号幅度随时间以加速度R增长 5 正弦输入信号 正弦输入信号可表示为如 R R R为常数 表示正弦输入信号
5、的幅值 该信号随时间以频率 作等幅振荡 2 f为正弦函数的角频率 这里 初始相角 0 如果初始相角 不等于0 那么正弦函数x t 的表达式为 x t Asin t 正弦函数也是控制系统常见的一种典型外作用 很多实际的随动系统就是经常在这种正弦函数作用下工作的 更为重要的是系统在正弦函数作用下的响应 即频率特性 是自动控制理论中研究系统性能的重要依据 究竟使用哪种典型信号分析系统 取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式 若输入是突然的脉动 脉冲信号若输入是突变的跃变 阶跃信号若输入随时间逐渐变化 斜坡信号若输入是周期信号 正弦信号 二 动态过程和稳态过程 1 动态过程 过渡过程或瞬态过程 时
6、域分析法研究系统输入变化时 其输出随时间变化的响应特性 y t f x t 系统的时间响应分为动态响应和稳态响应或称动态过程与稳态过程 系统在输入信号作用下 系统输出从初始状态到最终状态的响应过程 反映系统的动态性能 2 稳态过程 静态过程 过渡过程中 当时间趋于无穷大时系统的输出状态 反映出系统的稳态性能 注意 稳态过程不是指输出数值不变 而是指输出变化形式固定不变 三 动态性能和稳态性能 1 动态性能 1 峰值时间tp 阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间 tp tp愈小 表明控制系统反应愈灵敏 2 最大偏差A和超调量 被控输出第一个波的峰值与给定值的差 如图中的A A y tp 随动控制
7、系统 超调量 3 4 1 y 为过渡过程的稳态值 定值控制系统 通常采用超调量这个指标 tp 偏差e 设定值R 输出y 3 衰减比n 在过渡过程曲线上 同方向上相邻两个波峰值之比 如图 n B B n愈大 过渡过程衰减的越快 反之 n愈小 过渡过程的衰减程度也愈小 一般操作经验希望过程有两 三个周波结束 一般常取n 4 1 10 1 l当n 1时 过渡过程则为等幅振荡 4 调节时间ts 阶跃响应到达稳态的时间 工程上常取在被控变量进入新稳态值的 5 或 2 的误差范围 并不再超出的时间 ts的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关 ts越短 系统响应越快 5 上升时间tr 仅适用随动系统 第一
8、次达到系统新稳态值所需的时间 定义为上升时间 对于非振荡的过渡过程曲线 从稳态值的10 上升到90 所需的时间 余差或稳态误差e 过渡过程结束时稳态值与给定值之差 是表示控制系统精度的重要质量指标 2 稳态性能 总结 1 峰值时间和上升时间反映了系统的初始快速 4 稳态误差反映了系统的调节精度 3 最大偏差 超调量和衰减比反映了系统的平稳性 2 调节时间反映了系统的整体快速性 B 动态性能指标定义1 表征快速性 表征平稳性 动态性能 表征稳态精度 动态性能指标定义1 上升时间tr 调节时间ts 动态性能指标定义2 3 2一阶系统的时域分析 一阶系统 可用一阶微分方程描述的系统 例 网络的输入电
9、压Ul和输出电压U2间的动态特性由下列一阶微分方程来描述 描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式 T称为时间常数 表示系统的惯性大小K表示对象的增益或放大系数 3 2 1 传递函数是 假设K 1 系统的初始条件为零 2 1单位阶跃响应 单位阶跃1 t 的拉氏变换为 3 2 2 把 3 2 2 式代入 3 2 1 式 取拉氏反变换有 3 2 3 由式 3 2 3 求出 一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线 t T时 y T 1 e 1 0 632 t 5T时 y 5T 0 993 t 4T时 y 4T 0 982 t 3T时 y 3T 0 95 t 2T时 y 2T 0 865 forT
10、 5 10 30 G tf 1 T1 step G 160 holdon endgridonaxis 016001 1 title T 5 10 30 一阶系统单位阶跃响应曲线 set gca ytick 0 0 1 1 1 gtext T 5 gtext T 10 gtext T 30 结论 时间常数T决定系统的惯性 T越小 即系统惯性越小 过渡过程越快 T越大 即系统惯性越大 过渡过程越慢 说明 研究输出曲线的变化速率 对 3 2 3 式求导 T 1 说明 1 一阶系统阶跃响应曲线的另一个重要特性是在t 0处切线的斜率等于1 T 2 一阶系统如能保持初始反应速度不变 则当t T时 输出将达
11、到其稳态值 3 实际上 一阶系统过渡过程y t 的变化速率 随着时间的推移 是单调下降的 一阶系统单位阶跃响应的重要性质 总结 1 经过一倍时间常数 即t T时 系统从0上升到稳态值的63 2 2 在t 0处曲线切线的斜率等于1 T 3 当t 4T时 一阶系统的响应曲线已经达到稳态值 稳态误差小于2 实验方法求取一阶系统的传递函数 对一阶系统的单位阶跃响应曲线 2 从t 0处的切线斜率求得 1 直接从达到稳态值的63 2 对应的时间求出一阶系统的时间常数 2 2单位斜坡响应 单位斜坡函数x t t的拉氏变换为 3 2 6 把 3 2 6 式代入式 3 2 1 取上式的拉氏反变换 即得系统的单位
12、斜坡响应 它和输入参数的误差为 x t t x t y t 特点 1 系统的动态响应是一个指数型的上升过程 先逐步加快 最后以输入相同的速度直线升高 并与输入相平行 2 系统的稳态响应为y t T 是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数 3 输出总是小于输入 误差逐步从零增大到时间常数T并保持不变 因此T也是稳态误差 系统的时间常数T越愈小 系统跟踪输入信号的稳态误差也就越小 2 3单位脉冲响应 系统输出量的拉氏变换式恰好与系统的传递函数相同 称为脉冲响应 其表达式为 初始斜率 特点 1 一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数曲线 2 说明系统的惯性越小 T越小 系统的响应越快 注意
13、 系统在单位脉冲输入信号作用下 输出的拉氏变换恰好为系统的传递函数 即 对上式进行拉氏反变换 即得系统的脉冲响应函数 实验测定系统的传递函数 常用单位脉冲信号作用于系统 来测定系统的单位脉冲响应 由此可以求得系统的传递函数 总结与分析 l线性定常系统对输入信号导数的响应 可以通过把系统对输入信号的响应进行微分求得 这一结果适合所有的线性定常系统 线性时变系统或非线性系统都不具备这种性质 l系统对输入信号积分的响应 可以通过把系统对原输入信号的响应进行积分求得 而积分常数则由零初始条件决定 习题 例1设单位负反馈系统的单位阶跃响应为 1 求系统的单位脉冲响应 2 求该系统的闭环传递函数和开环传递
14、函数 解 1 对单位阶跃响应求导 可得单位脉冲响应函数 2 对上式求拉氏变换 可得系统的闭环传递函数 可求出系统的开环传递函数 例3 1 水银温度计近似可以认为一阶惯性环节 用其测量加热器内的水温 当插入水中一分钟时才指示出该水温的98 的数值 设插入前温度计指示0度 如果给加热器加热 使水温以10度 分的速度均匀上升 问温度计的稳态指示误差是多少 解 1 一阶系统 阶跃输入 输出响应达98 调节时间 ts 4T 1分 则T 0 25分 2 单位斜坡信号时稳态跟踪误差是T 故当水温以10度 分作等速变换 稳态指示误差为10 T 2 5度 1 利用传递函数的定义 例3 2 已知某系统在单位斜坡输
15、入时的输出为 求系统的传递函数 及单位阶跃输入时的解 研究 一阶系统的特征参数K T对过渡过程的影响 K 20 K 10 K 2 T 20 T 10 T 2 在单位阶跃信号作用下 上节课内容回顾 上升时间tr的定义 峰值时间tp的定义 调节时间ts的定义 最大超调量 的定义 一阶系统的时间常数T如何确定 3 2二阶系统的时域分析 3 1二阶系统数学模型的标准形式 二阶系统的微分方程 写成标准形式 令 有 3 3 1 标准传递函数 两个特征参数 3 3 2 有 3 3 3 3 3 1 求解这个二阶系统的特征方程 3 3 3 可得它的两个根 极点 3 3 4 图3 7阻尼系数不同时特征根在s平面上
16、的位置 当阻尼系数 取不同值时 二阶系统特征根的性质 3 3 4 0 1欠阻尼 1临界阻尼 1过阻尼 0无阻尼 0 3 2二阶系统的单位阶跃响应 1 0 1时的欠阻尼情况 这时系统有一对共轭复根 见图3 8 图3 8极点位置 式中 称为有阻尼自然频率 3 3 3 式可改写成 取上式的拉氏反变换 有 3 3 3 因此 Y s 的拉氏反变换为 3 3 5 此时 y t 的输出为衰减振荡过程 特点 系统的单位阶跃响应y t 及其偏差信号e t 均为衰减的正弦振荡曲线 其振荡频率为 衰减速度取决于 n 从 3 3 6 式中还可以看出 当时间趋于无穷大时 系统的偏差等于零 图3 9欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 二阶系统的偏差信号e t 是 3 3 6 2 0时的无阻尼情况 系统具有一对共轭纯虚根 将 0代入式 3 3 5 可得到 y t l cos nt 由此可知 当阻尼比 0时 系统的阶跃响应将变为等幅振荡 稳态时仍是等幅振荡 振荡频率为 n 3 3 5 3 3 7 频率 n和 d具有鲜明的物理涵义 n是无阻尼 即 0 时二阶系统等幅振荡过程的频率 因此也称为无阻尼振荡频率 l显然 d低于 n
