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1、2008年全国中考数学压轴题精选1 1 08 福建莆田 26 14 分 如图 抛物线经过A 3 0 B 0 4 C 4 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 已知 AD AB D 在线段 AC 上 有一动点P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的 速度移动 同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动 经过t 秒的移动 线段PQ 被 BD 垂直平分 求t 的值 3 在 2 的情况下 抛物线的对称轴上是否存在一点M 使 MQ MC的值最小 若存在 请 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 注 抛物线 2 yaxbxc的对称轴为 2 b x a 08 福建莆田26 题解析 2
2、6 1 解法一 设抛物线的解析式为y a x 3 x 4 因为 B 0 4 在抛物线上 所以4 a 0 3 0 4 解得 a 1 3 所以抛物线解析式为 2111 3 4 4 333 yxxxx 解法二 设抛物线的解析式为 2 0 yaxbxca 依题意得 c 4 且 9340 16440 ab ab 解得 1 3 1 3 a b 所以所求的抛物线的解析式为 2 11 4 33 yxx 2 连接 DQ 在 Rt AOB 中 2222 345ABAOBO 所以 AD AB 5 AC AD CD 3 4 7 CD AC AD 7 5 2 因为 BD 垂直平分PQ 所以 PD QD PQ BD 所以
3、 PDB QDB 因为 AD AB 所以 ABD ADB ABD QDB 所以 DQ AB 所以 CQD CBA CDQ CAB 所以 CDQ CAB DQCD ABCA 即 210 577 DQ DQ 所以 AP AD DP AD DQ 5 10 7 25 7 2525 1 77 t 所以 t 的值是 25 7 3 答对称轴上存在一点M 使 MQ MC的值最小 理由 因为抛物线的对称轴为 1 22 b x a 所以 A 3 0 C 4 0 两点关于直线 1 2 x对称 连接 AQ 交直线 1 2 x于点 M 则 MQ MC 的值最小 过点 Q 作 QE x 轴 于 E 所以 QED BOA
4、900 DQ AB BAO QDE DQE ABO QEDQDE BOABAO 即 10 7 453 QEDE 所以 QE 8 7 DE 6 7 所以 OE OD DE 2 6 7 20 7 所以 Q 20 7 8 7 设直线 AQ 的解析式为 0 ykxmk 则 208 77 30 km km 由此得 8 41 24 41 k m 所以直线AQ 的解析式为 824 4141 yx联立 1 2 824 4141 x yx 由此得 1 2 824 4141 x yx 所以 M 128 241 则 在对称轴上存在点M 128 241 使 MQ MC 的值最小 2 08 甘肃白银等9 市 28 12
5、 分 如图20 在平面直角坐标系中 四边形OABC是矩形 点B的坐 标为 4 3 平行于对角线AC的直线 m从原点 O出发 沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度 运动 设直线m与矩形 OABC的两边 分别交于点M N 直线 m运动的时间为t 秒 1 点 A 的坐标是 点 C 的坐标是 2 当 t 秒或秒时 MN 2 1 AC 3 设 OMN的面积为S 求 S与 t 的函数关系式 4 探求 3 中得到的函数S有没有最大值 若有 求出最大值 若没有 要说明理由 08 甘肃白银等9 市 28 题解析 28 本小题满分12 分 解 1 4 0 0 3 2 分 2 2 6 4 分 3 当 0 t 4
6、 时 OM t 由 OMN OAC 得 OC ON OA OM ON t 4 3 S 2 8 3 t 6分 当 4 t 8 时 图 20 如图 OD t AD t 4 方法一 由 DAM AOC 可得AM 4 4 3 t BM 6 t 4 3 7 分 由 BMN BAC 可得BN BM 3 4 8 t CN t 4 8 分 S 矩形OABC的面积 Rt OAM的面积 Rt MBN的面积 Rt NCO的面积 12 4 2 3 t 2 1 8 t 6 t 4 3 4 2 3 t tt3 8 3 2 10 分 方法二 易知四边形ADNC是平行四边形 CN AD t 4 BN 8 t 7 分 由 BM
7、N BAC 可得BM BN 4 3 6 t 4 3 AM 4 4 3 t 8 分 以下同方法一 4 有最大值 方法一 当 0 t 4 时 抛物线S 2 8 3 t的开口向上 在对称轴t 0 的右边 S 随 t 的增大而增大 当 t 4 时 S可取到最大值 2 4 8 3 6 11 分 当 4 t 8 时 抛物线S tt3 8 3 2 的开口向下 它的顶点是 4 6 S 6 综上 当t 4 时 S有最大值6 12 分 方法二 S 2 2 3 04 8 3 348 8 tt ttt 当 0 t 8 时 画出 S 与 t 的函数关系图像 如图所示 11 分 显然 当t 4 时 S有最大值6 12 分
8、 说明 只有当第 3 问解答正确时 第 4 问只回答 有最大值 无其它步骤 可给1 分 否则 不给分 3 08 广东广州 25 2008 广州 14 分 如图 11 在梯形ABCD 中 AD BC AB AD DC 2cm BC 4cm 在等腰 PQR 中 QPR 120 底边QR 6cm 点 B C Q R 在同一直线l 上 且 C Q 两点重合 如果等腰 PQR 以 1cm 秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动 t 秒时梯形ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 1 当 t 4 时 求 S 的值 2 当4 t 求 S 与 t 的函数关系式 并求出S 的最大值 08 广东
9、广州25 题解析 25 1 t 4 时 Q 与 B 重合 P与 D 重 合 重合部分是 BDC 32322 2 1 4 08 广东深圳 22 如图9 在平面直角坐标系中 二次函数 0 2 acbxaxy的图象的顶点为D 点 与 y 轴交于 C 点 与x轴交于 A B 两点 A 点在原点的左侧 B 点的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 3 1 1 求这个二次函数的表达式 2 经过 C D两点的直线 与x轴交于点E 在该抛物线上是否存在这样的点F 使以点A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 若存在 请求出点F的坐标 若不存在 请说明理由 3 若平行于x轴的直线与该抛物线交于M N
10、两点 且以MN为直径的圆与x轴相切 求该圆半径 的长度 4 如图 10 若点 G 2 y 是该抛物线上一点 点P是直线 AG下方的抛物线上一动点 当点P 运动到什么位置时 APG的面积最大 求出此时P 点的坐标和 APG的最大面积 08 广东深圳22 题解析 22 1 方法一 由已知得 C 0 3 A 1 0 1 分 将 A B C三点的坐标代入得 3 039 0 c cba cba 2 分 解得 3 2 1 c b a 3 分 所以这个二次函数的表达式为 32 2 xxy 3 分 方法二 由已知得 C 0 3 A 1 0 1 分 设该表达式为 3 1 xxay 2 分 图 11 图 9 y
11、xOE D C BA G AB C D O x y 图 10 将 C点的坐标代入得 1a 3 分 所以这个二次函数的表达式为 32 2 xxy 3 分 注 表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分 2 方法一 存在 F 点的坐标为 2 3 4 分 理由 易得D 1 4 所以直线CD的解析式为 3xy E点的坐标为 3 0 4 分 由 A C E F 四点的坐标得 AE CF 2 AE CF 以 A C E F 为顶点的四边形为平行四边形 存在点F 坐标为 2 3 5 分 方法二 易得D 1 4 所以直线CD的解析式为 3xy E点的坐标为 3 0 4分 以 A C E F 为顶点的四边形为
12、平行四边形 F 点的坐标为 2 3 或 2 3 或 4 3 代入抛物线的表达式检验 只有 2 3 符合 存在点F 坐标为 2 3 5 分 3 如图 当直线MN在x轴上方时 设圆的半径为R R 0 则 N R 1 R 代入抛物线的表达式 解得 2 171 R 6 分 当直线MN在x轴下方时 设圆的半径为r r 0 则 N r 1 r 代入抛物线的表达式 解得 2 171 r 7 分 圆的半径为 2 171 或 2 171 7 分 4 过点 P作 y 轴的平行线与AG交于点 Q 易得 G 2 3 直线AG为1xy 8 分 设 P x 32 2 xx 则 Q x x 1 PQ2 2 xx 3 2 2
13、 1 2 xxSSS GPQAPQAPG 9 分 当 2 1 x时 APG的面积最大 此时 P点的坐标为 4 15 2 1 8 27 的最大值为 APG S 10 分 5 08 贵州贵阳 25 本题满分12 分 本题暂无答案 某宾馆客房部有60 个房间供游客居住 当每个房间的定价为每天200元时 房间可以住满 当每个房间 每天的定价每增加10 元时 就会有一个房间空闲 对有游客入住的房间 宾馆需对每个房间每天支出 R R r r 1 1 N N M M AB D Ox y 20 元的各种费用 设每个房间每天的定价增加x元 求 1 房间每天的入住量 y 间 关于x 元 的函数关系式 3 分 2
14、该宾馆每天的房间收费z 元 关于x 元 的函数关系式 3 分 3 该宾馆客房部每天的利润w 元 关于x 元 的函数关系式 当每个房间的定价为每天多少元 时 w有最大值 最大值是多少 6 分 6 08 湖北恩施 六 本大题满分12 分 24 如图 11 在同一平面内 将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起 A为公共顶点 BAC AGF 90 它们的斜边长为2 若 ABC固定不动 AFG绕点A旋转 AF AG与边BC的交点 分别为D E 点 D不与点 B重合 点 E不与点 C 重合 设BE m CD n 1 请在图中找出两对相似而不全等的三角形 并选取其中一对进行证明 2 求 m与 n
15、 的函数关系式 直接写出自变量n 的取值范围 3 以 ABC的斜边BC所在的直线为x 轴 BC边上的高所在的直线为y 轴 建立平面直角坐标系 如 图 12 在边BC上找一点D 使BD CE 求出D点的坐标 并通过计算验证BD 2 CE 2 DE 2 4 在旋转过程中 3 中的等量关系BD2 CE2 DE 2 是否始终成立 若成立 请证明 若不成立 请说 明理由 08 湖北恩施24 题解析 六 本大题满分12 分 24 解 1 ABE DAE ABE DCA 1分 BAE BAD 45 CDA BAD 45 BAE CDA 又 B C 45 ABE DCA 3分 2 ABE DCA CD BA
16、CA BE 由依题意可知CA BA 2 n m2 2 m n 2 5分 自变量 n 的取值范围为1 n 2 6分 3 由BD CE可得BE CD 即 m n m n 2 m n 2 OB OC 2 1 BC 1 OE OD 2 1 D 1 2 0 7分 G y x 图 12 O F E D C B A G 图 11 F E D C B A BD OB OD 1 2 1 2 2 CE DE BC 2BD 2 2 2 2 22 2 BD 2 CE 2 2 BD 2 2 2 2 2 12 82 DE2 22 2 2 12 82 BD 2 CE 2 DE 2 8分 4 成立 9分 证明 如图 将 ACE绕点A顺时针旋转90 至 ABH的位置 则CE HB AE AH ABH C 45 旋转角 EAH 90 连接HD 在 EAD和 HAD中 AE AH HAD EAH FAG 45 EAD AD AD EAD HAD DH DE 又 HBD ABH ABD 90 BD 2 HB 2 DH 2 即BD 2 CE 2 DE 2 12分 7 08 湖北荆门 28 本小题满分12 分 已知抛物线y ax
