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1、5.2.4 无限源的简单排队系统 所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。本节我们讨论一些典型的简单排队系统。1.排队系统排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson过程（具有速率）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值。两个指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，指的是容量为无穷大
2、，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。为分析之，我们首先确定极限概率，为此，假定有无穷多房间，标号为 ，并假设我们指导某人进入房间（当有个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。图5.8 排队系统状态转移速率框图由此，我们有 状态 离开速率进入速率 解方程组，容易得到 再根据 得到：， 令，则称为系统的交通强度（traffic intensity）。值得注意的是这里要求，因为若，则，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定。于是，在统计平衡的条件下（），平均队长为 （5-52） 由于，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间
3、为： （5-53） 平均等待时间为： （5-54） 平均等待队长为： （5-55）另外，根据队长分布易知，也是系统空闲的概率，而正是系统繁忙的概率。显然，越大，系统越繁忙。队长由0变成1的时刻忙期即开始，此后第一次又变回0时忙期就结束。由简单流与负指数分布的性质，显见忙期的长度与忙期的起点无关。可以证明，闲期的期望值为，令忙期平均长度为， 则在统计平衡下，有：平均忙期：平均闲期，因此平均忙期长度为： （5-56） 一个忙期中所服务的平均顾客数为 （5-57）不难看出，在忙期相继输出的间隔时间是独立、同参数的随机变量，即为参数的Poisson流。但是，当系统空闲后，从开始空闲时刻起，到下一个顾客
4、服务完毕离去时之间的间隔时间显然不与服务时间同分布。下面简要推导一下排队系统的输出过程特征。令表示第个顾客服务完毕的离去时刻，则表示离去的间隔时间，于是，对， 其中表示剩余到达间隔时间，与（服务时间间隔）独立，而表示第个离去顾客服务完毕离开系统时的队长。由于 而（根据两独立随机变量和的分布计算公式计算），所以 （5-58） 此式表示在统计平衡下，相继输出的间隔时间服从参数的负指数分布。例5.5 某通信团维修站，有1个维修技师，每天工作10小时。待维修的到来服从Poisson分布，每天平均有90部到来，维修时间服从指数分布，平均速率为部/小时。试求排队等待维修的平均数；等待维修的多于2部的概率；
5、如果使等待维修的数平均为2部，维修速率应提高多少？ 解：这是一个模型已知，则 ，解得：所以，接待速率应提高：。例5.6假设顾客以Poisson速率为每12分钟1人到达，服务时间是指数型的且服务速率是每8分钟服务1个人，和分别是多少？解：因为（人分），（人分），我们得到：，因此，系统中顾客的平均个数为2，顾客在系统中平均花费的时间是24分钟。现假设到达速率提高20到，重新计算和得到，因此，到达速率20的增加导致系统中平均顾客数增加了1倍。事实上，从式（5-52）和式（5-53）可以清楚看到，当趋于1时，的一个微小的增加都会导致和大的增加。例5.7 战时，集团军通信团的通信设备以指数速率每小时6台
6、损坏，有一个维修技师，其维修速率是指数速率每小时8台，设备损坏而没有得到及时维修造成的损失是每台设备每小时100次通话，问：由于损坏的设备引起的平均通话损失率是多少？解：该问题是一个排队模型，其中，。则平均通话损失率每台设备每小时100次损坏设备的平均数而损坏设备的平均数就是因此，平均通话损失率等于每小时300次。2. 排队系统排队系统是一种多服务等待制系统,指的是：有个服务立地并行服务。当顾客到达时，若有空闲服务台便立刻接受服务，若没有空闲的服务台，则排队等待，直到有空闲的服务台时再接受服务。假定顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数的负指数分布，每个服务台服务时间独立、服从相同参数的负指数
7、分布，系统容量为无穷大，而且到达与服务是彼此独立的。设表示系统中的顾客数，则是无限状态上的生灭过程，其参数为 （5-59）其分布的平稳状态分布记为，则与无限源生灭过程分析类似，考虑有个服务台，对任一状态，在统计平衡下，其平衡方程为： 状态 离开速率进入速率 。 。 。若记，则当时，解上述平衡方程组，可得： （5-60） 再由概率分布的要求：，解得上式中的。由于系统中有个服务台，所以顾客到达时需要等待的概率为 （5-61） 其中，。 式（5-61）称为Erlang等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。在统计平衡下，等待队长显然有分布 （5-62）所以当时，有 （5-63） 又令表示系统
8、平衡时，正在被服务的顾客数，则 （5-64） 所以正在接受服务的顾客的平均数为： （5-65）上式表明，平均在忙的服务台的个数与服务台个数无关。平均队长为 （5-66）可以验证，时，即化为系统结果（讨论略），时即化为的有关结果。对多服务台系统，Littles公式依然成立，即有：平均等待时间为 （5-67）而平均逗留时间为 （5-68）和类似，若令表示平衡下相继离去的间隔时间，可以证明其分布函数为这表明在统计平衡下相继离去的间隔时间服从参数的负指数分布。因此，统计平衡下排队系统的输出过程与到达过程相同。 例5.8 工件按Poisson流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务（加
9、工）所需时间服从负指数分布，平均服务时间为8分钟。求： 工件在系统等待服务的平均数和工件在系统平均逗留时间； 若要求有90的把握使工件在系统的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时间最多是多少？ 若每一工件的服务分两段，每段所需时间服从负指数分布，平均都为4分钟。在这种情况下，工件在系统的平均数是多少？解：该问题属于模型依题意知 ， （个） （分钟） 由，解得，故工件的平均服务时间最多是7.69分钟。 系统已变为模型，。，=0.2，于是，以上结果表明，采用多服务员、单队列的排队系统方案，其各项运行指标都优于多队列的排队系统。事实上，该结论是一般性的，其证明过程如下。例5.9 设排队模型中到
10、达速率为，服务速率为；排队模型中到达速率为，服务速率为。证明：排队模型中的逗留时间少于排队模型中的逗留时间，给出一个直观解释。对排队等待时间有类似结论吗？证明： 对排队模型，建立平衡方程（每个服务台服务速率为） 方程有解：，其中。又因为，可解得，也即可得。因此 由，我们得到 而对具有服务速率为的排队系统，有要使排队系统是稳定的，则，即有直观的解释是：如果一个人发现在情形中系统是空的，那么有两个服务台没有什么益处。而具有一个更快的服务台会更好。记，则 ， 那么即，而这正是排队系统稳定的要求。故对于排队等待时间也有类似结论。3. 混合制排队系统排队系统是一种多服务混合制排队系统，系统有个位置，独立
11、平行工作的服务台数有个，。当系统中有空位置时，新到的顾客就进人系统排队等待服务，反之，若个位置已被顾客全部占用，则新到的顾客自动离开。顾客的相继到达时间间隔服从参数为的负指数分布（即按Poisson流到达），每个服务台的服务时间独立、服从参数为的负指数分布，到达与服务相互独立。与排队系统分析类似，假定表示在时刻系统中的顾客数，则是有限状态上的生灭过程，其参数为 ； （5-69）其分布的平稳分布记为，对任一状态，在统计平衡下，其平衡方程为： 状态 离开速率进入速率 。 于是对一切，有 （5-70）其中，。是损失制，当系统处于状态时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率为，而顾客损失的概率为 （5-71） 单位时间平均损失的顾客数为 （5-72） 单位时间平均进入系统的顾客数为 （5-73） 由平稳分布记为，可得平均等待队长为 （5-74） 其中，。以表示平衡时正在被服务的顾客数，则，； 于是正在被服务的平均顾客数（或平均被占用的服务台数）为 （5-75） 于是得平均队长 （5-76） 再由Littles公式，得到 （5-77）特别地，对一些特殊排队系统的运行指标，有：(1) 排队系统： （5-78） （5-79） （5-80） （5-81） ， （5-82）对单服务台损失制系统，读者可自行推导相关数量指标。(2) 多服务台损失制系统：
