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1、重庆中考材料阅读题分类讲练 含答案 类型 1代数型新定义问题 例 1 2017 重庆 A 对任意一个三位数n 如果 n 满足各数位上的数字互不相同 且都不 为零 那么称这个数为 相异数 将一个 相异数 任意两个数位上的数字对调后可以得到 三个不同的新三位数 把这三个新三位数的和与111 的商记为F n 例如 n 123 对调 百位与十位上的数字得到213 对调百位与个位上的数字得到321 对调十位与个位上的 数字得到 132 这三个新三位数的和为213 321 132 666 666 111 6 所以 F 123 6 1 计算 F 243 F 617 2 若 s t 都是 相异数 其中 s 1
2、00 x 32 t 150 y 1 x 9 1 y 9 x y 都是正整 数 规定 k F s F t 当 F s F t 18 时 求 k 的最大值 针对训练 1 对于一个两位正整数xy 0 y x 9 且 x y 为正整数 我们把十位上的数与个位上的 数的平方和叫做t 的 平方和数 把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t 的 平方差 数 例如 对数62 来说 62 22 40 6 2 22 32 所以 40 和 32 就分别是 62 的 平方 和数 与 平方差数 1 75 的 平方和数 是 5 可以是 的 平方差数 若一个数的 平方和数 为 10 它的 平方差数 为 8 则这个数是 2 求
3、证 当x 9 y 8 时 t 的 2 倍减去t 的 平方差数 再减去 99 所得结果也是另一个 数的 平方差数 3 将数 t 的十位上的数与个位上的数交换得到数t 若 t 与 t 的 平方和数 之和等于t 与 t 的 平方差数 之和 求t 2 将一个三位正整数n 各数位上的数字重新排列后 含 n 本身 得到新三位数abc a c 在所有重新排列中 当 a c 2b 最小时 我们称 abc 是 n 的 调和优选数 并规定 F n b2 ac 例如 215 可以重新排列为125 152 215 因为 1 5 2 2 2 1 2 2 5 7 2 5 2 1 5 且 2 5 7 所以 125 是 21
4、5 的 调和优选数 F 215 22 1 5 1 1 F 236 2 如果在正整数n 三个数位上的数字中 有一个数是另外两个数的平均数 求证 F n 是一个完全平方数 3 设三位自然数t 100 x 60 y 1 x 9 1 y 9 x y 为自然数 交换其个位上的数字 与百位上的数字得到数t 若 t t 693 那么我们称t 为 和顺数 求所有 和顺数 中 F t 的最大值 3 进制也就是进位制 是人们规定的一种进位方法 对于任何一种进制 X 进制 就 表示某一位置上的数运算时是逢X进一位 十进制是逢十进一 十六进制是逢十六进一 二进制就是逢二进一 以此类推 X进制就是逢X进一 为与十进制进
5、行区分 我们常把 用 X 进制表示的数a 写成 a X 类比于十进制 我们可以知道 X进制表示的数 1111 X中 右起第一位上的 1 表示 1 X0 第二位上的1 表示 1 X1 第三位上的1 表示 1 X2 第四位上的1 表示 1 X3 故 1111 X 1 X 3 1 X2 1 X 1 1 X0 即 1111 X转化为十进制表示的数为X3 X2 X1 X 0 如 1111 2 1 2 3 1 22 1 21 1 20 15 1111 5 1 53 1 52 1 51 1 50 156 根据材料 完 成以下问题 1 把下列进制表示的数转化为十进制表示的数 101011 2 302 4 25
6、7 7 2 若一个五进制三位数 a4b 5与八进制三位数 ba4 8之和能被13 整除 1 a 5 1 b 5 且 a b 均为整数 求 a 的值 3 若一个六进制数与一个八进制数之和为666 则称这两个数互为 如意数 试判断 mm1 6与 nn5 8是否互为 如意数 若是 求出这两个数 若不是 说明理由 4 我们知道 任意一个正整数n 都可以进行这样的分解 n p q p q 是正整数 且 p q 在 n 的所有这种分解中 如果 p q 两因数之差的绝对值最小 我们就称p q 是 n 的最佳 分解 并规定 F n p q 例如 12 可以分解成 1 12 2 6 或 3 4 因为 12 1
7、6 2 4 3 所以 3 4是 12 的最佳分解 所以F 12 3 4 1 如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方 我们称正整数m 是完全平方数 求证 对任意一个完全平方数m 总有 F m 1 2 如果一个两位正整数t t 10 x y 1 x y 9 x y 为自然数 交换其个位上的数与十 位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36 那么我们称这个数t 为 吉祥 数 求所有 吉祥数 3 在 2 所得的 吉祥数 中 求 F t 的最大值 类型 2函数型新定义问题 例 2 已知一个大于1 的正整数t 可以分解成t ac b2的形式 其中 a c a b c 均为正 整数 在 t
8、的所有表示结果中 当bc ba 取得最小值时 称 ac b2 是 t 的 等比中项 分解 此时规定 P t b c 2 a b 例如 7 1 6 1 2 2 3 12 1 3 22 1 6 1 1 2 3 2 1 1 3 1 2 所以 2 3 12是 7 的 等比中项分解 P 7 2 3 1 若一个正整数q m2 n 2 其中 m n 为正整数 则称 q 为 伪完全平方数 证明 对 任意一个 伪完全平方数 q 都有 q 1 2 2 若一个两位数s 10 x y 1 y x 5 且 x y 均为自然数 交换原数十位上的数字和个 位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14 倍 结果被 8 除余 4
9、 称这样的数s 为 幸 福数 求所有 幸福数 的 P s 的最大值 针对训练 1 如果关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 有两个实数根 且其中一个根为另一个根 的 2 倍 则称这样的方程为 倍根方程 以下关于倍根方程的说法 方程 x2 x 2 0 是倍根方程 若 x 2 mx n 0 是倍根方程 则4m 2 5mn n2 0 若点 p q 在反比例函数y 2 x 的图象上 则关于x 的方程 px2 3x q 0 是倍根方程 其中正确的是 写出所有正确说法的序号 2 先阅读下列材料 再解答下列问题 材料 因式分解 x y 2 2 x y 1 解 将 x y 看成整体 令x y A 则原式
10、 A2 2A 1 A 1 2 再将 A 还原 得原式 x y 1 2 上述解题中用到的是 整体思想 整体思想是数学解题中常用的一种思想方法 请你解答 下列问题 1 因式分解 1 2 x y x y 2 2 因式分解 a b a b 4 4 3 证明 若n 为正整数 则式子 n 1 n 2 n 2 3n 1 的值一定是某一个整数的平方 3 若三个非零实数x y z 满足 只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和 则称这三个实数x y z 构成 和谐三数组 1 实数 1 2 3 可以构成 和谐三数组 吗请说明理由 2 若 M t y1 N t 1 y2 R t 3 y3 三点均在函数y k x
11、 k 为常数 k 0 的图象上 且这三点的纵坐标y1 y2 y3构成 和谐三数组 求实数 t 的值 3 若直线y 2bx 2c bc 0 与 x 轴交于点A x1 0 与抛物线y ax2 3bx 3c a 0 交于 B x2 y2 C x3 y3 两点 求证 A B C三点的横坐标x1 x2 x3构成 和谐三数组 若 a 2b 3c x2 1 求点 P c a b a 与原点 O 的距离 OP 的取值范围 4 若一个整数能表示成a2 b2 a b 是整数 的形式 则称这个数为 完美数 例如 5 是 完美数 因为 5 22 12 再如 M x2 2xy 2y2 x y 2 y2 x y 是整数
12、所以 M 也是 完美数 1 请你再写一个小于10 的 完美数 并判断29 是否为 完美数 2 已知 S x2 4y2 4x 12y k x y 是整数 k 是常数 要使 S为 完美数 试求出符 合条件的一个k 值 并说明理由 3 如果数 m n 都是 完美数 试说明mn 也是 完美数 5 若将自然数中能被3 整除的数 在数轴上的对应点称为 3 倍点 P 取任意的一个 3 倍 点 P 到点 P 距离为 1 的点所对应的数分别记为a b 定义 若数K a2 b2 ab 则称 数 K 为 尼尔数 例如 若P 所表示的数为3 则 a 2 b 4 那么 K 22 42 2 4 12 若 P所表示的数为1
13、2 则 a 11 b 13 那么 K 132 112 13 11 147 所以 12 147 是 尼尔数 1 请直接判断6 和 39 是不是 尼尔数 并且证明所有 尼尔数 一定被 9 除余 3 2 已知两个 尼尔数 的差是 189 求这两个 尼尔数 类型 3整除问题 例 3 我们知道 任意一个大于1 的正整数n 都可以进行这样的分解 n p q p q 是正 整数 且p q 在 n 的所有这种分解中 如果p q 两数的乘积最大 我们就称p q 是 n 的最佳分解 并规定在最佳分解时 F n pq 例如 6 可以分解成1 5 或 2 4 或 3 3 因为 1 5 2 41 且 n 为整数 位正整
14、数K 的首位后添加6 得到的新数叫做K 的 顺数 在 K 的末位前添加6 得到的新数叫做K的 逆数 若 K 的 顺数 与 逆数 之差能被17 整除 称 K 是 最佳拍档数 比如 1324 的 顺数 为 16324 1324 的 逆数 为 13264 1324 的 顺 数 与 逆数 之差为 16324 13264 3060 3060 17 180 所以 1324 是 最佳拍档数 1 请根据以上方法判断31568 填 是 或 不是 最佳拍档数 若一个首位是5 的四位 最佳拍档数 N 其个位数字与十位数字之和为8 且百位数字不小于十位数字 求所有符合条件的N 的值 2 证明 任意三位或三位以上的正整
15、数K的 顺数 与 逆数 之差一定能被30 整除 5 若整数 a 能被整数b 整除 则一定存在整数n 使得 a b n 即 a bn 例如 若整数 a 能被整数 7 整除 则一定存在整数n 使得 a 7n 1 将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数 让个位之前的数减去个位数的两倍 若所得之差能被7 整除 则原多位自然数一定能被7 整除 例如 将数字1078 分解为 8 和 107 107 8 2 91 因为 91 能被 7 整除 所以1078 能被 7 整除 请你证明任意一 个三位数都满足上述规律 2 若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数 让个位之前的数加上个位数的k k 为正整数 1
16、k 5 倍 所得之和能被13 整除 求当k 为何值时使得原多位自然数一定 能被 13 整除 参考答案 例 1 解 1 F 243 423 342 234 111 9 F 617 167 716 671 111 14 2 s t 都是 相异数 F s 302 10 x 230 x 100 x 23 111 x 5 F t 510 y 100y 51 105 10y 111 y 6 F s F t 18 x 5 y 6 x y 11 18 x y 7 1 x 9 1 y 9 x y 都是正整数 x 1 y 6 或 x 2 y 5 或 x 3 y 4 或 x 4 y 3 或 x 5 y 2 或 x 6 y 1 2 s是 相异数 x 2 x 3 t 是 相异数 y 1 y 5 x 1 y 6 或 x 4 y 3 或 x 5 y 2 F s 6 F t 12 或 F s 9 F t 9 或 F s 10 F t 8 k F s F t 1 2或 k F s F t 1 或 k F s F t 5 4 k 的最大值为 5 4 针对训练 1 解 1 74 32 31 2 证明 令t 10 x y 2
