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1、2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 一 填空题 本大题共有12 题 满分54 分 第 1 6 题每题 4 分 第 7 12 题每题 5 分 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 已知全集RU 集合032 2 xxxA 则ACU 2 在 6 1 x x 的二项展开式中 常数项是 3 函数 lg 32 xx f x的定义域为 4 已知抛物线 2 xay的准线方程是 1 4 y 则a 5 若一个球的体积为 32 3 则该球的表面积为 6 已知实数xy 满足 0 0 1 x y xy 则目标函数zxy的最小值为 7 函数 2 sincos1 11 xx f x的最小正周期是 8 若
2、一圆锥的底面半径为3 体积是12 则该圆锥的侧面积等于 9 将两颗质地均匀的骰子抛掷一次 记第一颗骰子出现的点数是 m 记第二颗骰子出现的点数是n 向 量2 2amn r 向量1 1b r 则向量ab rr 的概率 是 10 已知直线 12 0 20lmxylxmym 当m在实数范围内变化时 1 l与 2 l的交点P恒在一个 定圆上 则定圆方程是 11 若 函 数 2 2 2 1 sin 1 xx f x x 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 M m 则 函 数 sin1g xMm xMm x 图像的一个对称中心是 12 已 知 向 量 a b r r 的 夹 角 为 锐 角 且 满
3、 足 8 15 a r 4 15 b r 若 对 任 意 的 1 0 x yx yxaybxy rr 都有 1xy成立 则a b r r 的最小值为 二 选择题 本大题共有4 题 满分20 分 每题 分 每题有且只有一个正确选项 考生应在答题纸的 相应位置 将代表正确选项的小方格涂黑 13 在四边形ABCD中 ABDC u uu ruuu r 且 AC uu u r BD uuu r 0 则四边形ABCD是 N M D 1 C1 B 1 A 1 DC B A A 菱形 B 矩形 C 直角梯形 D 等腰梯形 14 若无穷等比数列 n a的前n项和为 n S 首项为1 公比为 1 2 且aSn n
4、 lim n N 则复数 ia z 1 i为虚数单位 在复平面上对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 15 在ABC中 cossincossinAABB 是 0 90C 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 16 如图 圆C分别与x轴正半轴 y轴正半轴相切于点 A B 过劣 弧AB上一点T作圆C的切线 分别交x轴正半轴 y轴正半轴于点 M N 若点 2 1 Q是切线上一点 则MON周长的最小值为 A 10 B 8 C 4 5 D 12 三 解答题 本大题共有5 题 满分 76 分 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写
5、出必要的步骤 17 本题满分14 分 第 1 小题满分6 分 第 2 小题满分8 分 如 图 在 长 方 体 1111 DCBAABCD中 2AB 4AD 121AC 点M为AB的中点 点N为BC的中点 1 求长方体 1111 DCBAABCD的体积 2 求异面直线MA1与NB1所成角的大小 用反三角函数表 示 18 本题满分14 分 第 1 小题满分6 分 第 2 小题满分8 分 如图 某快递小哥从 A地出发 沿小路ABBC以平均时速 20 公里 小时 送快件到C处 已知 10BD 公里 00 45 30DCBCDB ABD是等腰三角形 0 120ABD 1 试问 快递小哥能否在50 分钟内
6、将快件送到C处 2 快递小哥出发15 分钟后 快递公司发现快件有重大问题 由 于通讯不畅 公司只能派车沿大路ADDC追赶 若汽车平均 时速 60 公里 小时 问 汽车能否先到达C处 19 本题满分14 分 第 1 小题满分6 分 第 2 小题满分8 分 已知函数 2 31fxxtx 其定义域为 0 3 12 15 U 1 当2t时 求函数 yf x的反函数 2 如果函数 yf x在其定义域内有反函数 求实数 t的取值范围 20 本题满分16 分 第 1 小题满分4 分 第 2 小题满分6 分 第 3 小题满分6 分 如图 A B是椭圆 2 2 1 2 x Cy长轴的两个端点 M N是 椭圆上与
7、 A B均不重合的相异两点 设直线 AM BN AN 的斜率分别是 123 k kk 1 求 23 kk的值 2 若直线MN过点 2 0 2 求证 13 1 6 k k 3 设直线MN与x轴的交点为 0 t t为常数且0t 试探究直线 AM与直线BN的交点Q是否落在某 条定直线上若是 请求出该定直线的方程 若不是 请说明理由 21 本题满分18 分 第 1 小题满分4 分 第 2 小题满分6 分 第 3 小题满分8 分 A B C D 已 知 数 列 na 的 前n项 和 n A满 足 11 12 nn AA nN nn 且 1 1a 数 列 nb 满 足 21 20 nnn bbbnN 3
8、2b 其前 9 项和为 36 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 当n为奇数时 将 n a放在 n b的前面一项的位置上 当 n为偶数时 将 n b放在 n a前面一项的位置上 可以得到一个新的数列 1122334455 a b baa b b aa b 求该数列的前n项和 n S 3 设 1 n nn c ab 对于任意给定的正整数2k k 是否存在正整数 l m klm 使得 klm cc c成 等差数列若存在 求出 l m 用k表示 若不存在 请说明理由 2017 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 E N M D 1 C1 B 1 A 1 DC B A 数学学科参考答案及评分标准
9、 一 填空题 本大题共有12 题 满分54 分 第 1 6 题每题 4 分 第 7 12 题每题 5 分 3 1 2 203 0 4 15 166 1 7 8 9 1 6 10 22 20 xyxy11 1 1 4 12 8 15 二 选择题 本大题共有4 题 满分20 分 每题 分 13 A14 D15 B16 A 三 解答题 本大题共5 题 满分74 分 17 本题满分14 分 第 1 小题满分6 分 第 2 小题满分8 分 解 1 连AC 1 AC ABC是直角三角形 22 242 5AC 1111 DCBAABCD 是长方体 BCCC1 CDCC1 又CBCDC CC1 平面ABCD
10、ACCC 1 又在 1 ACCRt中 1 21AC 2 5AC 1 1CC 1 111 8ABCD A BC DV 6 分 2 解法一 如图建立空间直角坐标系 则 1 4 0 1A 4 1 0M 1 4 2 1B 2 2 0N 所以 1 0 1 1AM u uu u r 1 2 0 1B N uu uu r 10 分 则向量 1AM uuuu r 与 1B N uuuu r 所成角满足 11 11 10 cos 10 A MB N AMB N uuuu r uu uu r uuu u ruu uu r 异面直线MA1 与NB1所成的角等于 10 arccos 10 14 分 解法二 取AD的中
11、点E 连EA 1 EM 11 BAABEN 四 边 形NEBA 11 为 平 行 四 边 形 A x BM N C y D 1 A 1 B 1 C 1 D z NBEA 11 MEA1等于异面直线MA1 与NB1所成的角或其补角 9 分 1AM 2AE 11AA 得 1 2AM 1 5A E 5EM 1 25510 cos 10225 EAM 1 10 arccos 10 EA M 异面直线MA 1 与NB1所成的角等于 10 arccos 10 14 分 18 本题满分14 分 第 1 小题满分6 分 第 2 小题满分8 分 解 1 10AB 公里 BCD中 由 00 sin 45sin30
12、 BDBC 得5 2BC 公里 2 分 于是 由 105 2 6051 2150 20 知 快递小哥不能在50 分钟内将快件送到C处 6分 2 在ABD中 由 2221 10102 10 10300 2 AD 得10 3AD 公里 8分 在BCD中 0 105CBD 由 00 5 2 sin105sin30 CD 得 5 13CD 公里 10分 由 10 35 13 60152015 345 9851 21 60 分钟 知 汽车能先到达C处 14分 19 本题满分14 分 第 1 小题满分6 分 第 2 小题满分8 分 解 1 38 8 1 38 73 136 xx y xx 6分 2 0 1
13、若 3 0 2 t 即0t 则yfx在定义域上单调递增 所以具有反函数 8 分 0 2若 3 15 2 t 即10t 则yfx在定义域上单调递减 所以具有反函数 10 分 0 3当 3 312 2 t 即28t时 由于区间0 3关于对称轴 3 2 t 的对称区间是 33 3tt 于是当 312 3 3 2 t t 或 3315 3 12 2 t t 即2 4t或6 8t时 函数yfx在定义域上满足1 1 对应关系 具有反函数 综上 0 2 4 6 8 10 tUUU 14分 20 本题满分16 分 第 1 小题满分4 分 第 2 小题满分6 分 第 3 小题满分6 分 解 1 设 00 N x
14、y 由于 2 0 2 0 AB 所以 2 000 232 0 00 222 yyy kk xxx 因为 00 N xy在椭圆C上 于是 2 20 0 1 2 x y 即 22 00 22xy 所以 2 0 232 0 1 22 y kk x 4分 2 设直线 2 2 MNxmy 1122 M xyN xy 由 22 2 2 22 xmy xy 得 223 2 20 2 mymy 于是 1212 22 23 222 m yyyy mm 6 分 1212 13 212 1212 223 29 22 yyy y kk xx m y ym yy 2 222 2 22 3 3 22 1 2 39 6 3
15、3 229 32 22 22222 m m mmm mm mm 10 分 3 由于直线MN与x轴的交点为 0 t 于是 MNxmyt 联立直线 MNxmyt与椭圆 2 2 1 2 x Cy的方程 可得 222 2 220mymtyt 于是 2 121222 22 22 mtt yyyy mm 12分 因为直线 1 1 2 2 y AMyx x 直线 2 2 2 2 y BNyx x 两式相除 可知 1212122 1122121 22 2 2 222 2 xymytymy ytyx yyxxmytmy yty 2 22 122 1 222 1 12 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2
16、2 2 tmt mty m ttmy mm t m ttmy mty m 2 1 2 1 2 2 22 2 2 2 2 m tmytt tm tmyt 于是2xt 所以 2 x t 即直线AM与直线BN的交点Q落在定直线 2 x t 上 16 分 21 本题满分18 分 第 1 小题满分4 分 第 2 小题满分6 分 第 3 小题满分8 分 解 答案 1 因为 1 1 12 nn AA nN nn 于是数列 n A n 是首项为1 公差为 1 2 的等差数列 所以 11 22 n A n n 即 1 2 n n n AnN 当2n时 1nnn aAAn 又因为 1 1a 所以 n an nN 2 分 又因为 21 20 nnn bbbnN 于是数列 n b是等差数列 设 n b的前n项和为 n B 由于 95 936Bb 则 5 4b 由于 3 2b 所以1 n bnnN 4分 2 数列 n a的前 n 项和 1 2 n n n A 数列 n b的前n项和 1 2 n nn B 5 分 当2 nk kN时 2 2 1 1 22 nkkk k kkk SSABk 6 分 当43 nkkN
