《备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：6 三角函数的图象与性质（2）——单调性、值域与最值 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之三角函数：6 三角函数的图象与性质（2）——单调性、值域与最值 Word版含解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 I I 题源探究 黄金母题 题源探究 黄金母题 例 1 求函数 1 sin 2 2 23 yxx 的 单调递增区间 解析 设 2 2A 函数 1 sin 23 yxxR 的单调递增区间为B 由 1 22 2232 kxk 得 55 44 4 4 3333 kxkBkkkZ 易知 5 33 AB 精彩解读 试题来源 人教版 A 版必修 4 第 39 页例 5 母题评析 本题考查三角函数单调区 间的求法 是历年来高考的一个常考点 思路方法 限定区间上三角函数单调 区 间 的 求 法 先 用 整 体 思 想 求 sinyAxB 0 AxR 的单调区间 再与已知 区间求交集即可 IIII 考场精
2、彩 真题回放 考场精彩 真题回放 例 2 2016 高考北京文数 已知函数 0 2coscossin2 xxxxf的 最 小 正 周期为 1 求 的值 2 求 xf的单调递增区间 命题意图 本题考查两角和的正弦公 式 周期公式 三角函数的单调性 考 查学生分析问题解决问题能力 转化与 化归能力 考试方向 这类试题在考查题型上 通常以选择题或填空题或解答题的形 式出现 难度中等 2 答案 1 3 88 kk k 分析 运用两角和的正弦公式对 xf化简整 理 由周期公式求 的值 根据函数xysin 的单调递增区间对应求解即可 解析 I 因为 2sincoscos2f xxxx sin2cos2xx
3、 2sin 2 4 x 所 以 f x的最小正周期 2 2 依题意 解得1 II 由 I 知 2sin 2 4 f xx 函数 sinyx 的单调递增区间为2 2 22 kk k 由222 242 kxk 得 3 88 kxk 所以 f x的单调递增区间为 3 88 kk k 难点中心 解答此类问题的关键是能 综 合 运 用 三 角 公 式 化 为 形 式 sinyAxB 再进一步讨论相 关性质 IIIIII 理论基础 解题原理 理论基础 解题原理 考点一考点一 三角函数的单调性三角函数的单调性 xysin 在 2 2 2 2 Zkkk 上单调递增 在 2 2 3 2 2 Zkkk 上 单调递
4、减 当Zkkx 2 2 时 1 max y 当Zkkx 2 2 时 1 min y xycos 在 2 2Zkkk 上单调递增 在 2 2Zkkk 上单调递减 当 3 Zkkx 2 时 1 max y 当Zkkx 2 时 1 min y xytan 在 2 2 Zkkk 上单调递增 考点二考点二 三角函数的最值与值域三角函数的最值与值域 有如下几种类型 1 一次型 sincos sin cosyaxbx yAxB yAxB 值域分别为 2222 ababAB ABAB AB 2 二次型 2222 sinsin coscos sinsincoscosyaxbxc yaxbxc yaxbxxcx
5、等 3 分式型 sincossincos sincoscossin axbaxbaxbaxb yyyy cxdcxdcxdcxd 等 IVIV 题型攻略 深度挖掘 题型攻略 深度挖掘 考试方向 这类试题在考查题型上 通常以选择题或填空题的形式出现 一般难度较小 往往考查对基 础知识的识记与理解 若为新定义题 则难度加大 技能方法 1 讨论 sin cos tanyAxB yAxB yAxB 的单调性 可用整体思想 把 0 x 视为一个整体 00AA 所列不等式的方向与 sin cos tanyx yx yx 的单调区间对应的不等式方向相同 反 2 利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大
6、小 必须先看两角是否同属于这一 函数的同一单调区间内 若不属于 可先化至同一单调区间内 若不是同名三角函数 则应 考虑化为同名三角函数或用差值法 例如与 0 比较 与 1 比较等 求解 3 二次型 22 sinsin coscosyaxbxc yaxbxc 可化为区间上的二次函数来求值 域 二次型 22 sinsin coscosyaxbxxcx 可先用倍角公式 降幂扩角公式及辅助角公 式化为一次型来求解 4 分式型 sincos sincos axbaxb yy cxdcxd 可以用sin x或cosx的有界性求值域 或利用分 离常数法求解 分式型 sincos cossin axbaxb
7、yy cxdcxd 可以用数形结合法求值域 易错指导 4 1 对于三角函数 sin0yAxA 求其单调区间 要注意 的正负 若 为负 则需先化正 化为 sinyAx 的形式 若求其单调递增区间 应把x 放在 正弦函数的单调减区间内 若求其单调递减区间 应把x 放在正弦函数的单调增区间 内 2 解答时不要遗漏 kZ 另外三角函数存在多个单调区间时不能用 联结 3 求解三角函数的最值 值域 时一定要注意自变量的取值范围 由于三角函数的周期性 正弦函数 余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得 因此要把这两个 最值点弄清楚 不然极易出错误 V V 举一反三 触类旁通 举一反三 触类旁通
8、 考向考向 1 1 三角函数的单调性 单调区间 三角函数的单调性 单调区间 例 3 2016 新课标 I 学易大联考四 已知函数 xf sin xA 0 0 2 A 的部分图象如图所示 则 cos xAy的单调增区间为 A 2 36 kk Zk B 3 3 1 kk Zk C 12 12 5 kk Zk D 6 6 5 kk Zk 命题意图 本题主要考查三角函数的图象变换 三角函数的图象与性质 考查运算求解能 力 是基础题 答案 A 5 例 4 2016 届 河 南 省 洛 阳 市 高 三 毕 业 班 三 练 数 学 文 设 函 数 sin 2 32 f xxx 则以下结论正确的是 A 函数
9、f x在 0 2 上单调递减 B 函数 f x在 0 2 上单调递增 C 函数 f x在 5 26 上单调递减 D 函数 f x在 5 6 上单调递增 答案 C 解析 4 0 2 2333 xx 所以函数 f x先减后增 2 0 2 2333 xx 所以函数 f x先增后减 524 2 26333 xx 所以函 数 f x单调递减 545 2 6333 xx 所以函数 f x先减后增 选 C 例 5 2015 2016 学 年 陕 西 省 西 安 市 一 中 高 一 下 期 末 考 试 数 学 函 数 4 2cos 2 xxf的单调增区间别为 答案 8 8 3 Zkkk 解析 函数 2cos
10、2 2cos 2 44 f xxx 由 222 4 kxkkZ 得 3 88 kxkkZ 函数 4 2cos 2 xxf的单调增区间别为 8 8 3 Zkkk 故答案应填 8 8 3 Zkkk 6 例 6 2015 2016 学年西藏日喀则一中高二下期末 函数2sin2 6 yx 0 x 为增函数的区间是 答案 5 36 易错点晴 本题以函数2sin2 6 yx 的表达式的单调区间为背景 考查的是三角函数 中形如 sin xAxf的正弦函数的图象和性质 解答时先从题设中的条件增函数入手 对函数2sin2 6 yx 进行变形 将其变形为一般式 6 2sin 2 xy 将其转化为求 函数 6 2s
11、in 2 xy的减区间 最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法 通过解 不等式使得本题获解 考考向向 2 2 三角函数的值域与最值三角函数的值域与最值 例 7 20162016 新课标新课标 I I 押题卷押题卷 1 1 已知函数 2 1 sin cossin 2 f xaxxx 的一条对称轴方 程为 6 x 则函数 f x的最大值为 命题意图 本题考查三角变换 三角函数的对称性与最值 意在考查逻辑思维能力 运算 求解能力 转化思想与方程思想 答案 1 解 析 11 cos2111 sin2sin2cos2 22222 x f xaxaxx xf最 值 是 2 1 1 2 a 6 x 是
12、函 数 xf图 象 的 一 条 对 称 轴 2 1 1 62 fa 即 11 sincos 2323 a 2 1 1 2 a 整理得 2 3 0 22 a 3 a 所以函数 f x的最 大值为 2 1 3 11 2 7 例 8 2016 届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学 文 若 5 4 12 x 则 2cos sin 4 sin2 xx f x x 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 A 解析 2cos sin cos sincos sincos114 sin22sin cos2sin2tan2 xx xxxxx f x xxxxx 5 4 12 x 1tan23x 1
13、231 tan x 当 1 1 tan x 时 1 max fx 故选 A 例9 2016届 河 北 沧 州 市 高 三4月 调 研 数 学 文 函 数 sin cos3sin 0 2 yxxxx 的值域为 A 3 3 1 2 B 33 1 22 C 0 1 D 3 3 1 2 答案 D 解析 因 2 111 cos23 sin23sinsin23sin 2 22232 x yxxxx 且由 0 2 x 得 4 2 333 x 3 sin 2 1 23 x 3 31 2 y 故应选 D 例 10 2016 届安徽省安庆市高三第三次模拟考试数学 文 已知 3 2cossin 2 2 f xxx
14、xR 的图像过 4 2 点 则 f x在区 间0 2 上的值域为 8 A 5 5 B 3 5 C 3 4 D 2 5 答案 B 解 析 由4 2 f 有3 2cossin4 22 得 2 sin 2 而 2 2 所以 3 2cossin3cos4sin5sin 44 f xxxxxx 其中 34 sin cos 55 故 64 由0 2 x 知 0 2 x 故 35sin5sin5x 即 f x 的值域为 3 5 故选 B 方法点晴 本题考查两角和与差的正弦公式 三角函数的图象及三角函数的最值 属于难 题 求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种 化成 2 sinsinyaxbxc 的形式 利
15、用配方法求最值 形如 sin sin axb y cxd 的可化为sin xy 的形式利用三角函数有界性 求最值 sincosyaxbx 型 可化为 22 sin yabx 求最值 本题是利用方 法 的思路解答的 例 11 2015 2016 福建师大附中高一下期中考数学 实验班 函数 cos 2sin y R 的值域为 答案 3 3 3 3 解析 由函数 cos 2sin y 可得 cossin2 yy 即 sincos2yy 令 1 sin 1 1 cos 22 y y y 则yy2 cos 1 2 所以1 1 2 2 y y 解 之得 9 3 3 y 故其值域为 3 3 3 3 应填 3
16、 3 3 3 易错点晴 本题考查的是三角函数的有关知识及综合运用 解答时先依据题设条件借助辅 助角 的引入将其转化为yy2 cos 1 2 然后在借助三角函数中余弦函数的值域 为 1 1 建立不等式1 1 2 2 y y 通过解不等式1 1 2 2 y y 求出函数 cos 2sin y 的值 域为 3 3 3 3 体现数学中的转化与化归的数学思想和方法 整个解答过程充满了化归与 转化的数学思想的交替使用 例 12 2016 届黑龙江哈尔滨一中高三第二次模拟考试数学 理 已知函数 Rxxxxxf 2 1 coscossin 2 3 2 当 5 12 12 x 时 求函数 f x取得最大值和最小值时x的值 设锐角ABC 的内角 A B C的对应边分别是 a b c 且 1 acN 若向量 1 1 sin A n与向量 2 2 sin B n平行 求c的值 答案 3 x f x取得最大值0 12 x f x取得最小值 3 1 2 2 10 向量 1 sin A n与向量 2 sin B n平行 所以sin2sinBA 根据正弦定理 的推论 得2ba 1 2ab 由余弦定理 2 142 1
