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1、齐齐哈尔市2020学年度下学期期末考试高二数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则( )ABCD2.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为( )ABCD3.函数的零点所在区间为( )ABCD4.下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )ABC.D5.周髀算经中有这样一个问题: 从冬至之日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.其“日影长”依次成等差数列.若已知冬至、立春、春分的“日影长”之和为31.5尺，前九个节气“日影长”之
2、和为85.5尺,则芒种“日影长”为( )A.1.5尺B.2.5 尺C.3.5尺D.4.5 尺6.已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点， 则( )A B C. D7.已知，为的导函数，则的图象是( )A B C. D8.下列四个命题中，真命题的序号是( )“”是“”的充分不必要条件；命题，命题，则为真命题；命题“”的否定是“”；“若，则”的逆命题是真命题.A B C. D9.2020年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )A B
3、C. D10.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有( )A60种 B120种 C.240种 D360种11.已知是球的球面上的四个点，平面，,，则该球的表面积为( )A B C. D12.在区间上任意取两个实数，则函数在区间上且仅有一个零点的概率为( )A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.多项式的展开式中含的项的系数为（用数字做答）14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为15.某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（
4、）如下表所示：（残差=真实值-预测值）34562.534根据表中数据，得出关于的线性回归方程为：.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中的值为16.已知函数，若直线与曲线相切，则三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求直方图中的值；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数、中位数各是多少（结果保留整数）；(3)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的概率.（参考数
5、据：若，则,）18.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面,分别是线段的中点，.(1)证明：平面；(2)设点是线段的中点，求二面角的正弦值.19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付.有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况，随机调查了50次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄（岁）频数510151055手机支付4610620(1)若把年龄在的人称为中青年，年龄在的人称为中老年，请根据上表完成以下列联表；并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系？手机支付未使用手机支付总计中青年中老年总计(2)若
6、从年龄在的被调查中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式：，其中.独立性检验临界值表：0.150.100.0050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520.已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.(1)求椭圆的方程；(2)试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.21.已知函数.(1)令为的导函数，求的单调区间；(2)已知函数在处取得极大值，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4
7、-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线，直线.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；(2)已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长.23.选修4-5：不等式选讲已知函数,不等式的解集为.(1)求实数的值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.齐齐哈尔市2020学年度高二下学期期末考试答案一、选择题1-5: BABDB 6-10:BACAB 11、12：DA二、填空题13.10 14. 15. 16.三、解答题17. 解：（1）由已知得，解得；（2） 众数=； 由前三组频率之和，前四组频率之和为，故中位数位于
8、第四组内，中位数估计为 ；（3）因为从而18. 解：（1）证明：取的中点为，连接,四边形是正方形, 分别是线段 的中点, ,且,且,四边形为平行四边形，且平面，平面，（2）解：平面，四边形是正方形，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系. 则.设平面的法向量为，则 得 可取设平面的法向量为，则 得可取所以所以二面角的正弦值为.19.解：（1）22列联表如图所示： 手机支付未使用手机支付总计 中青年201030 中老年81220总计282250所以在犯错误的概率不超过的前提下不能认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系.（2）年龄在的被调查者共人，其中使用手机
9、支付的有人，则抽取的人中使用手机支付的人数可能取值为，则 ；所以X的分布列为：X012.20.解：（1）由题意知，右焦点即，且，解得，所以椭圆方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，易知，所以直线令，可知：,此时.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，直线直线令，可知联立，消去整理得，此时综上所述，是定值.21.解：（1）由，可得，所以，当时，函数单调递增；当时，函数单调递增，函数单调递减.所以当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为.（2）由题知，.当，即时，由（1）知在内单调递增，可得当时，当时，.所以在内单调递减，在内单调递增，所以在处取得极小值，不合题意.当，即，在内单调递增，在内单调递减，所以当时，单调递减，不合题意.当，即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取得极大值，符合题意.当时，时，时，故 在处取得极小值，不合题意.综上可知，实数的取值范围为.22解：（1）直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为曲线的参数方程为（为参数）（2）联立，得到同理又所以根据余弦定理可得，所以周长.23解（1）因为所以不等式，即所以，因为不等式解集为，所以或,解得.（2）关于的不等式恒成立，等价于恒成立，等价于恒成立，解得
